2025年高考數學(xué)平面幾何考察的三大問(wèn)題

　　平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規，而這里所謂的直尺是指沒(méi)有刻度只能畫(huà)直線(xiàn)的尺。用直尺與圓規當然可以做出許多種之圖形，但有些圖形如正七邊形、正九邊形就做不出來(lái)。有些問(wèn)題看起來(lái)好像很簡(jiǎn)單，但真正做出來(lái)卻很困難，這些問(wèn)題之中最有名的就是平面幾何考察的三大問(wèn)題。

　　幾何三大問(wèn)題是:

　　1.化圓為方-求作一正方形使其面積等於一已知圓;

　　2.三等分任意角;

　　3.倍立方-求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。

　　圓與正方形都是常見(jiàn)的幾何圖形，但如何作一個(gè)正方形和已知圓等面積呢?若已知圓的半徑為1則其面積為π(1)2=π，所以化圓為方的問(wèn)題等於去求一正方形其面積為π，也就是用尺規做出長(cháng)度為π1/2的線(xiàn)段(或者是π的線(xiàn)段)。

　　三大問(wèn)題的第二個(gè)是三等分一個(gè)角的問(wèn)題。對於某些角如90。、180。三等分并不難，但是否所有角都可以三等分呢?例如60。，若能三等分則可以做出20。的角，那麼正18邊形及正九邊形也都可以做出來(lái)了(注：圓內接一正十八邊形每一邊所對的圓周角為360。/18=20。)。其實(shí)三等分角的問(wèn)題是由求作正多邊形這一類(lèi)問(wèn)題所引起來(lái)的。

　　第三個(gè)問(wèn)題是倍立方。埃拉托塞尼(公元前276年~公元前195年)曾經(jīng)記述一個(gè)神話(huà)提到說(shuō)有一個(gè)先知者得到神諭必須將立方形的祭壇的體積加倍，有人主張將每邊長(cháng)加倍，但我們都知道那是錯誤的，因為體積已經(jīng)變成原來(lái)的8倍。

　　這些問(wèn)題困擾數學(xué)家一千多年都不得其解，而實(shí)際上這三大問(wèn)題都不可能用直尺圓規經(jīng)有限步驟可解決的。

　　1637年笛卡兒創(chuàng )建解析幾何以後，許多幾何問(wèn)題都可以轉化為代數問(wèn)題來(lái)研究。1837年旺策爾(Wantzel)給出三等分任一角及倍立方不可能用尺規作圖的證明。1882年林得曼(Linderman)也證明了π的超越性(即π不為任何整數系數多次式的根)，化圓為方的不可能性也得以確立。

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