高考數學(xué)一輪復習集合大小定義的基本要求(2)

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會(huì )怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線(xiàn)，射線(xiàn)的一端是原點(diǎn)，然后在上面我們每隔一厘米畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊標上1、2、3……等，這樣就有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)。那么這個(gè)點(diǎn)集和自然數集合比較大小的結果應該如何?按照我們前面的要求，任何兩個(gè)集合都應該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實(shí)是一條數軸的正半軸，上面的點(diǎn)就是代表自然數的那些點(diǎn)，所以這些點(diǎn)的個(gè)數應該和自然數的個(gè)數相同。而且，按照“整體大于部分”的規定，那些標有10、20、30……的點(diǎn)的集合比所有點(diǎn)的集合要小。但是“一厘米”實(shí)在是非常人為的規定，如果我們一開(kāi)始就每隔一分米畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，順著(zhù)上面的思路，這些點(diǎn)的個(gè)數也該和自然數一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫(huà)點(diǎn)時(shí)標有10、20、30……的點(diǎn)啊!那些點(diǎn)始終是一樣的，所以它們的個(gè)數不應該取決于在它們的旁邊標記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

　　再舉一個(gè)例子。假設我給你一個(gè)大口袋，里面有無(wú)限多個(gè)小口袋，上面按照自然數標了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類(lèi)推�，F在我當著(zhù)你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數和原來(lái)的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀(guān)點(diǎn)，應該是少了，少一條。但是如果我當初就背著(zhù)你拿掉1號口袋，然后從其他每個(gè)小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會(huì )知道我做了手腳，因為這時(shí)大口袋里的東西和原來(lái)沒(méi)有任何區別，所以小口袋的數量和原來(lái)一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標號不應該改變口袋的數量。大家明白我是打了一個(gè)比方，大口袋就是一個(gè)集合。按照上面的要求，集合的大小只應該取決于集合本身，而不應該取決于集合的表示方法或構造方法，也就是得到集合的過(guò)程。你拿到了大口袋，也就是就應該知道里面小口袋的數量，而不用知道我是否做過(guò)手腳。

　　這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現，如果堅持“整體大于部分”的話(huà)，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時(shí)，比如比較自然數和正偶數的個(gè)數時(shí)，符合“直觀(guān)”和“常識”。但是更多的非常直觀(guān)的東西和常識卻都會(huì )變成錯誤的。比如說(shuō)，x'=x+1這樣一個(gè)數軸上的坐標平移，會(huì )將坐標上的點(diǎn)集{1,2,3……｝變?yōu)閧2,3,4……｝，一個(gè)坐標平移居然可以變動(dòng)點(diǎn)集中元素的個(gè)數!“元素可以一一對應的兩個(gè)集合大小相同”這條原理的失效，會(huì )使得我們在比較兩個(gè)元素很不相同的集合時(shí)無(wú)所適從：怎樣不使用一一對應的方法來(lái)比較自然數和數軸上(0,1)區間中點(diǎn)的個(gè)數?

　　在上面的兩個(gè)例子中我們會(huì )有這樣的感覺(jué)，對于無(wú)限集合來(lái)說(shuō)，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來(lái)。比如射線(xiàn)上的每隔一厘米畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的例子，如果我們把不是10的倍數的點(diǎn)去掉，然后將平面“收縮”到原來(lái)尺度的十分之一，我們就重新得到了原來(lái)的那個(gè)點(diǎn)集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來(lái)的那個(gè)大口袋。這暗示了無(wú)限集合的一個(gè)重要特點(diǎn)：從某種意義上來(lái)說(shuō)，它和自己的一部分相似。事實(shí)上，無(wú)限集合的一個(gè)定義就是“能和自己的一部分一一對應的集合”。所以在無(wú)限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因為這恰好就是無(wú)限集合的特征。