2019年高考一輪復習數學(xué)知識點(diǎn)：壓軸題第二問(wèn)詳解
來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )資源 2018-10-19 20:14:54
數學(xué)高考適應性測試壓軸題第二問(wèn)的簡(jiǎn)化證明
21．（本小題滿(mǎn)分12分）設函數 （ ）．
�。�1）求 的單調區間；（2）求 的零點(diǎn)個(gè)數；
�。�3）證明：曲線(xiàn) 沒(méi)有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)．
關(guān)于第二問(wèn)的簡(jiǎn)化解答如下【原創(chuàng )】
解
知故 在 內有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
綜合【1】，【2】得， 當 時(shí)， 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。
資料來(lái)源--學(xué)科網(wǎng)，天利38套
原參考解答【解析】（1） 的定義域為 ， ．令 ，得 ．
當 ，即 時(shí)， ，∴ 在 內單調遞增．
當 ，即 時(shí)，由 解得
， ，且 ，
在區間 及 內, ，在 內， ，
∴ 在區間 及 內單調遞增，在 內單調遞減．
�。�2）由（1）知，當 時(shí)， 在 內單調遞增，
∴ 最多只有一個(gè)零點(diǎn)．
又∵ ，∴當 且 時(shí)， ；
當 且 時(shí)， ，故 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
當 時(shí)，∵ 在 及 內單調遞增，在 內單調遞減，
且
，而 ，
�。ā� ），
∴ ，由此知 ，
又∵當 且 時(shí)， ，故 在 內有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當 時(shí)， 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
�。�3）假設曲線(xiàn) 在點(diǎn) （ ）處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
則有 ，即 ，
化簡(jiǎn)得： （ ）．（*）
記 （ ），則 ，
令 ，解得 ．當 時(shí)， ，當 時(shí)， ，
∴ 是 的最小值，即當 時(shí)， ．
由此說(shuō)明方程（*）無(wú)解，∴曲線(xiàn) 沒(méi)有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)．
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