2019年高考數學(xué)總復習專(zhuān)練：導數的極值最值

       高考數學(xué)總復習：導數的極值、最 值

　　考點(diǎn)一.求函數的極值

　　1.求函數的極值：（1） ；  （2） ；  （3） ； （4） ；

　　解：（1） ；

　�。�2） ，則f(-1)極小=-3；f(1)極大=-1.

　�。�3）定義域：x>0,則 ， ；

　�。�4） ， ；

　�。�5）若 在x=1處取得極值-2，求a,b的值。

　　解： 。

　�。�6）若 ，當x=-1時(shí)取極大值7，x=3取極小值，求極小值。

　　解： 。

　�。�7）若 （a<0）,求f(x）取極小值時(shí)，x的值.

　　解： ，

　�。�1）當 ， ， 。

　�。�2）當 。

　�。�3）當 ，

　　考點(diǎn)二。求函數最值

　�。�1） ；

　　，

　　(2)求f(x)＝ 的最值；

　　解： ， 。

　　(3)已知函數f(x)＝ ，若f′(－1)＝0，求y＝f(x)在－32，1上的最值．

　　解：∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3x＋13(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－13；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－13.因此，函數f(x)的單調遞增區間為－32，－1，－13，1，單調遞減區間為－1，－13.∴f(x)在x＝－1處取得極大值為f(－1)＝2；f(x)在x＝－13處取得極小 值為f－13＝5027.又∵f－32＝138，f(1)＝6，且5027＞138，∴f(x)在－32，1上的最大值為f(1)＝6，最小值為f－32＝138.

　　(4)已知f(x)=xlnx，求f(x)在 上的最小值。

　　解： =0，則x= .分情況討論：

　�。�1）  t, >0,f（x)單調遞增，則f（x)min=f(t)=tlnt.

　�。�2）t< <t+2,在 上， <0，在 上， >0,則f（x)min=f( )= ln =- .

　�。�3）  t+2, <0,f（x)單調遞減，則f（x)min=f(t+2)=（t+2）ln（t+2).

　�。�5）已知f(x)= ，在 上的最小值為4，求a的值。

　　解： =0，則x=a或x=1:

　　當a《1時(shí)，f(x)在 上單調遞增，f(x)min=f(1)=3a-1=4,故 （舍）

　　當a》3時(shí)，f(x)在 上單調遞減，f(x)min=f(3)=27-9a=4，故 （舍）

　　當1<a<3時(shí)，f(x)在 上單調遞減，f(x)在 上單調遞增，f(x)min=f(a)=4,故a=2或a=-1(舍）。

　�。�6）求 在 上的最小值。

　　解： =0，則x=ln2a.

　　當2a《0時(shí)， ；

　　當2a>0時(shí)，當ln2a《0，即 ，f(x)在 單調遞增，f(x)min=f(o)=b;

　　當ln2a》1,即a》 ，f(x)在 單調遞減，f(x)min=f(1)=e-2a-b;

　　當0<ln2a<1,即 ，f(x)在（0，ln2a)單調遞減，

　　在（ln2a, )單調遞增，則f(x)min=f(ln2a)=2a-2aln2a-b;

　　(7)已知函數f(x)＝(a ＋bx＋c) 在[0,1]上單調遞減,且滿(mǎn)足f(0)＝1，f(1)＝0，設g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．

　　解：　因為g(x)＝(－2ax＋1＋a) ，所以g′(x)＝(－2ax＋1－a) .

　　(i)當a＝0時(shí)，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.

　　(ii)當a 0時(shí)，若  0時(shí)，即0<a《1,g′(x)>0,g(x)單調遞增，g(x)max=g(1)=(1-a) ;g(x)min=g(0)=1+a;

　　若0< <1時(shí)，即1>a> ,在 上，g′(x)<0，在 上，g′(x)>0，

　　則g（x)min=f( )= ；g(x)max=g(x)min=g(1)=(1-a) ;

　　若  1時(shí) 即0<a《 ,g′(x)<0,g(x)單調遞減，g(x)min=g(1)=(1-a) ;g(x)max=g(0)=1+a;

　　考點(diǎn)三.實(shí)際應用

　�。�1）用總長(cháng)148 m的鋼條制作一個(gè)長(cháng)方體容器的框架如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(cháng)05 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積

　　解：設容器底面短邊長(cháng)為x m，則另一邊長(cháng)為（x+05） m，高為 =32－2x（m）

　　設容積為y m3，則y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16），整理，得y=－2x3+22x2+16x

　　所以y′=－6x2+44x+16令y′=0，即－6x2+44x+16=0，所以15x2－11x－4=0

　　解得x=1或x=－ （不合題意，舍去）從而在定義域（0，1.6）內只有x=1處使得y′=0

　　由題意，若x過(guò)�。ń咏�0）或過(guò)大（接近1.6）時(shí)，y值很�。ń咏�0）

　　因此，當x=1時(shí)，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，此時(shí)，高為32－2×1=1.2

　　答：容器的高為1.2 m時(shí)，容積最大，最大容積為1.8 m3