2025年高考數學(xué)極限重點(diǎn)知識點(diǎn)

　　高考復習已經(jīng)開(kāi)始，小編在此為大家整理了極限重點(diǎn)知識點(diǎn)，供大家參考，希望對高考生有所幫助。預祝大家取得理想的成績(jì)!

　　考試內容：教學(xué)歸納法，數學(xué)歸納法應用，數列的極限.

　　函數的極限.根限的四則運算.函數的連續性.

　　考試要求：

　　(1)理解數學(xué)歸納法的原理，能用數學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數學(xué)命題.

　　(2)了解數列極限和函數極限的概念.

　　(3)掌握極限的四則運算法則;會(huì )求某些數列與函數的極限.

　　(4)了解函數連續的意義，了解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質(zhì).

　　§13. 極 限 知識要點(diǎn)

　　1. ⑴第一數學(xué)歸納法：①證明當 取第一個(gè) 時(shí)結論正確;②假設當 ( )時(shí)，結論正確，證明當 時(shí)，結論成立.

　�、频诙�數學(xué)歸納法：設 是一個(gè)與正整數 有關(guān)的命題，如果

　�、佼� ( )時(shí)， 成立;

　�、诩僭O當 ( )時(shí)， 成立，推得 時(shí)， 也成立.

　　那么，根據①②對一切自然數 時(shí)， 都成立.

　　2. ⑴數列極限的表示方法：

　�、�

　�、诋� 時(shí)， .

　�、茙讉�(gè)常用極限：

　�、� ( 為常數)

　�、�

　�、蹖τ谌我鈱�(shí)常數，

　　當 時(shí)，

　　當 時(shí)，若a = 1，則 ;若 ，則 不存在

　　當 時(shí)， 不存在

　�、菙盗袠O限的四則運算法則：

　　如果 ，那么

　�、�

　�、�

　�、�

　　特別地，如果C是常數，那么

　　.

　�、葦盗袠O限的應用：

　　求無(wú)窮數列的各項和，特別地，當 時(shí)，無(wú)窮等比數列的各項和為 .

　　(化循環(huán)小數為分數方法同上式)

　　注：并不是每一個(gè)無(wú)窮數列都有極限.

　　

       3. 函數極限;

　�、女斪宰兞� 無(wú)限趨近于常數 (但不等于 )時(shí)，如果函數 無(wú)限趨進(jìn)于一個(gè)常數 ，就是說(shuō)當 趨近于 時(shí)，函數 的極限為 .記作 或當 時(shí)， .

　　注：當 時(shí)， 是否存在極限與 在 處是否定義無(wú)關(guān)，因為 并不要求 .(當然， 在 是否有定義也與 在 處是否存在極限無(wú)關(guān). 函數 在 有定義是 存在的既不充分又不必要條件.)

　　如 在 處無(wú)定義，但 存在，因為在 處左右極限均等于零.

　�、坪瘮禈O限的四則運算法則：

　　如果 ，那么

　�、�

　�、�

　�、�

　　特別地，如果C是常數，那么

　　.

　　( )

　　注：①各個(gè)函數的極限都應存在.

　�、谒膭t運算法則可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，但不能推廣到無(wú)限個(gè)情況.

　�、菐讉�(gè)常用極限：

　�、�

　�、� (0< <1); ( >1)

　�、�

　�、� ， ( )

　　4. 函數的連續性：

　�、湃绻�函數f(x)，g(x)在某一點(diǎn) 連續，那么函數 在點(diǎn) 處都連續.

　�、坪瘮礷(x)在點(diǎn) 處連續必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：

　�、俸瘮礷(x)在點(diǎn) 處有定義;② 存在;③函數f(x)在點(diǎn) 處的極限值等于該點(diǎn)的函數值，即 .

　�、呛瘮礷(x)在點(diǎn) 處不連續(間斷)的判定：

　　如果函數f(x)在點(diǎn) 處有下列三種情況之一時(shí)，則稱(chēng) 為函數f(x)的不連續點(diǎn).

　�、賔(x)在點(diǎn) 處沒(méi)有定義，即 不存在;② 不存在;③ 存在，但 .

　　5. 零點(diǎn)定理，介值定理，夾逼定理：

　�、帕泓c(diǎn)定理：設函數 在閉區間 上連續，且 .那么在開(kāi)區間 內至少有函數 的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn) ( < < )使 .

　�、平橹刀ɡ恚涸O函數 在閉區間 上連續，且在這區間的端點(diǎn)取不同函數值， ，那么對于 之間任意的一個(gè)數 ，在開(kāi)區間 內至少有一點(diǎn) ，使得 ( < < ).

　�、菉A逼定理：設當 時(shí)，有 ≤ ≤ ，且 ，則必有

　　注： ：表示以 為的極限，則 就無(wú)限趨近于零.( 為最小整數)

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