反比例函數圖像和性質(zhì)知識點(diǎn)

　　反比例函數的圖像屬于以原點(diǎn)為對稱(chēng)中心的中心對稱(chēng)的兩條曲線(xiàn),反比例函數圖象中每一象限的每一條曲線(xiàn)會(huì )無(wú)限接近X軸Y軸但不會(huì )與坐標軸相交（y≠0）。

　　1反比例函數公式口訣

　　反比例函數雙曲線(xiàn)，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對稱(chēng)軸是角分線(xiàn)，x、y的順序可交換。

　　2反比例函數圖象

　　當k>0時(shí)，兩支曲線(xiàn)分別位于第一、三象限內；當k<0時(shí)，兩支曲線(xiàn)分別位于第二、四象限內，兩個(gè)分支無(wú)限接近x和y軸，但永遠不會(huì )與x軸和y軸相交.

　　圖象畫(huà)法

　　1）列表

　　x...-3 -2 -1 1 2 3 4 ...

　　y...-4 -6 -12 12 6 4 3 ...

　　2）在平面直角坐標系中標出點(diǎn)（一般標5個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)為5點(diǎn)作圖法）。

　　3）用平滑的曲線(xiàn)連接點(diǎn)。

　　當K>0時(shí)，在圖象所在的每一象限內，Y隨X的增大而減小。

　　當K<0時(shí)，在圖象所在的每一象限內，Y隨X的增大而增大。

　　當兩個(gè)數相等時(shí)那么曲線(xiàn)呈彎月型。

　　k的意義及應用

　　過(guò)反比例函數y=k/x（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)P（x,y），作兩坐標軸的垂線(xiàn)，兩垂足、原點(diǎn)、P點(diǎn)組成一個(gè)矩形，矩形的面積為|k|。過(guò)反比例函數圖象一點(diǎn)，作任一坐標軸的垂線(xiàn)，并連接原點(diǎn)，圍成的三角形的面積為|k|/2。

　　研究函數問(wèn)題要透視函數的本質(zhì)特征。反比例函數中，比例系數k有一個(gè)很重要的幾何意義，那就是：過(guò)反比例函數圖象上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線(xiàn)PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為|k|。

　　所以，對雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線(xiàn)，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。這個(gè)常數是k的絕對值。在解有關(guān)反比例函數的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義，會(huì )給解題帶來(lái)很多方便。

　　3反比例函數性質(zhì)

　　單調性

　　當k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，每一個(gè)象限內，從左往右，y隨x的增大而減��；

　　當k<0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限，每一個(gè)象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。

　　k>0時(shí)，函數在x<0上為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時(shí)，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。

　　相交性

　　因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無(wú)限接近x軸，y軸。

　　面積

　　在一個(gè)反比例函數圖像上任取兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作x軸，y軸的平行線(xiàn)，與坐標軸圍成的矩形面積為|k|，

　　反比例函數上一點(diǎn) 向x 、y 軸分別作垂線(xiàn)，分別交于y軸和x軸，則QOWM的面積為|k|，則連接該矩形的對角線(xiàn)即連接OM,則RT△OMQ的面積=?|k|。

　　圖像表達

　　反比例函數圖象不與x軸和y軸相交的漸近線(xiàn)為：x軸與y軸。

　　k值相等的反比例函數圖象重合，k值不相等的反比例函數圖象永不相交。

　　|k|越大，反比例函數的圖象離坐標軸的距離越遠。

　　對稱(chēng)性

　　反比例函數圖象是中心對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)中心是原點(diǎn)；反比例函數的圖象也是軸對稱(chēng)圖形，其對稱(chēng)軸為y=x或y=-x；反比例函數圖象上的點(diǎn)關(guān)于坐標原點(diǎn)對稱(chēng)。

　　圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。若設正比例函數y=mx與反比例函數 交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（m、n同號），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。

　　反比例函數關(guān)于正比例函數y=±x軸對稱(chēng),并且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱(chēng)。

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