黎曼

　　黎曼，G．F．B（Riemann，GeorgFriedrichBernhard）1826年9月17日生于德國漢若威的布雷斯塞論茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。

　　黎曼是對現代數學(xué)影響最大的數學(xué)家之一，我們從他當時(shí)的數學(xué)水平來(lái)看，他作為偉大的分析學(xué)家，其成就可以分為八個(gè)領(lǐng)域來(lái)論述。前4個(gè)領(lǐng)域是關(guān)于復分析方面的，他第一個(gè)有意識的將實(shí)域過(guò)渡到復域，開(kāi)創(chuàng )了復變函數域，代數函數論，常微分方程解析理論及解析數論諸方向；后4個(gè)領(lǐng)域主要涉及實(shí)分析，在積分理論，三角級理論，微分幾何學(xué)，數學(xué)物理方程等方面取得重大突破。重要的是一個(gè)多世紀之前的成就卻直接同現代數學(xué)中的拓撲方法，一般流形概念，聯(lián)系拓撲與分析的黎曼－洛赫定理，代數幾何學(xué)特別是阿貝爾簇以及參模等緊密相連，他的空間觀(guān)念及黎曼幾何更預示著(zhù)廣義相對論，正是他促發(fā)了現代數學(xué)的革命性變革。

　　他的具體成就有：

　　一、復變函數論

　　黎曼和柯西及魏爾斯特拉斯被公認為復變函數論三大奠基人。而黎曼：

　　1．通過(guò)復變函數的導數定義，建立復變函數論的基礎。

　　2．對多值函數定義黎曼曲面。

　　3．黎曼曲面的拓撲（黎曼是第一個(gè)研究曲面拓撲的人，他引進(jìn)橫剖線(xiàn)的方法來(lái)研究曲面的連通性質(zhì)）。

　　4．黎曼曲面上的函數論（黎曼研究的基本問(wèn)題是黎曼曲面上函數的存在性及唯一性問(wèn)題。他比以前數學(xué)家的先進(jìn)之處在于，函數的存在不必通過(guò)構造出解析表達式來(lái)證明，黎曼可以通過(guò)其奇點(diǎn)來(lái)定義，這對后世數學(xué)有重要影響。）。

　　5．狄利克雷原理（黎曼給出其證明并有效地表述及運用狄利克雷原理，這個(gè)原理是他從狄利克雷的課程中學(xué)來(lái)的）。

　　二、阿貝爾函數論

　　關(guān)于阿貝爾函數，黎曼發(fā)表過(guò)兩篇文章：一是《阿貝爾函數論》，一是《論函數的零點(diǎn)》。

　　1．阿貝爾積分的表示及分類(lèi)（黎曼對由定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進(jìn)行了分類(lèi)。第一類(lèi)阿貝爾積分，在黎曼曲面上處處有界。線(xiàn)性獨立的第一類(lèi)阿貝爾積分的數目等于曲面的虧格p，如果曲面的連通數，這p個(gè)阿貝爾積分稱(chēng)為基本積分。第二類(lèi)阿貝爾積分，在黎曼曲面上以有限多點(diǎn)為極點(diǎn)。第三類(lèi)阿貝爾積分，在黎曼曲面上具有對數奇點(diǎn)。每一個(gè)阿貝爾積分均為以上三類(lèi)積分的和。

　　2．黎曼－洛赫定理（這是代數函數論及代數幾何學(xué)最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形態(tài)）。

　　3．黎曼矩陣，黎曼點(diǎn)集和阿貝爾函數。

　　4．函數及雅可比反演問(wèn)題（為了研究雅可比簇，黎曼推廣雅可比函數，引進(jìn)了黎曼函數）。

　　5．雙有理變換的概念和參模。

　　三、超幾何級數和常微分方程

　　超幾何微分方程有3個(gè)奇點(diǎn)0，1，α，它作為二階微分方程有兩個(gè)獨立特解y1和y2，其他解均為這兩解的線(xiàn)形組合。黎曼的思想是當y1，y2沿繞奇點(diǎn)的路徑變化時(shí)必經(jīng)歷線(xiàn)形變換。對于所有繞奇點(diǎn)的路徑，這些變換組成群。他把結果推廣到m個(gè)奇點(diǎn)n個(gè)獨立函數的情形，他證明給定線(xiàn)形變換后，這n個(gè)獨立函數滿(mǎn)足一個(gè)n階線(xiàn)形微分方程，但他沒(méi)有證明這些奇點(diǎn)（支點(diǎn)）和這些變換可以任意選取，從而留下了著(zhù)名的黎曼問(wèn)題。希爾伯特把他列入23個(gè)問(wèn)題中的第21個(gè)問(wèn)題。

　　四、解析理論

　　黎曼是現代意義下解析數論的奠基者，生前他只在1859年發(fā)表過(guò)一篇論文《論給定數以?xún)鹊乃財禂的俊贰?/p>

　　五、實(shí)分析──函數觀(guān)念，黎曼積分，傅立葉級數，連續不可微函數

　　黎曼積分是數學(xué)特別是物理應用的主要分析工具；黎曼還是最早認識到連續性及可微性的區別的數學(xué)家之一。

　　六、幾何學(xué)

　　黎曼的空間觀(guān)念使數學(xué)及物理發(fā)生空前的變革。黎曼的幾何論文有兩篇，一篇是他的授課資格的演講，另一篇是所謂《巴黎之作》，即《論熱傳導問(wèn)題》。