康熙皇帝與符號代數

　　歐基里得（Euclid）曾說(shuō)：“學(xué)習幾何學(xué)沒(méi)有王者之路！”。事實(shí)上，學(xué)習代數學(xué)亦然，譬如說(shuō)吧，在中國數學(xué)史上鼎鼎大名的康熙皇帝，就在符號代數的學(xué)習過(guò)程中，表現了類(lèi)似今日國中學(xué)生茫然不知所措的模樣，這個(gè)歷史經(jīng)驗，實(shí)在很值得教學(xué)工作者參考與借鏡。

　　這里所指的符號代數，當然是清初傳教士傳入中國的西方數學(xué)知識。當時(shí)有兩種西方代數傳入中國，第一種被稱(chēng)作“借根方比例法”，第二種則叫作“阿爾熱巴拉新法”。所謂“阿爾熱巴拉”，無(wú)疑是英文“algebra”的音譯，也曾被稱(chēng)作“阿爾熱巴達”或“阿爾朱巴爾”（當是法文“algebre”的音譯）。其實(shí)，這幾個(gè)名稱(chēng)也都曾指涉第一種，譬如在公元1711年，康熙皇帝與直隸巡撫趙宏燮討論數學(xué)時(shí)，就指出：

　　算法之理，皆出于‘易經(jīng)’，即西洋算法亦善，原系中國算法，彼稱(chēng)為“阿爾朱巴爾”者，傳自東方之謂也。

　　來(lái)年梅觳成入宮肄業(yè)于暢春園的蒙養齋，負責主編《數理精蘊》等書(shū)，康熙皇帝授以傳教士傳入的代數學(xué)，并且諭示：

　　西洋人名此書(shū)為阿爾熱巴達，譯言東來(lái)法也。

　　按此書(shū)可能是某傳教士所譯的《借根方算法節要》。至于在該書(shū)中不沿襲原名而改稱(chēng)為“借根方法”，“乃譯書(shū)者就其法而質(zhì)言之也。”換句話(huà)說(shuō)，“借根方（比例）法”是一種“意譯”！后來(lái)奉康熙皇帝指示，梅觳成遂將它編入《數理精蘊》（1723）卷三十二 —— 三十六。

　　然則何以“algebra”是一種“東來(lái)法”呢？這就必須追溯這個(gè)英文字的語(yǔ)源了。原來(lái)“algebra”相當于拉丁文的“al-jabr”，出自阿拉伯數學(xué)家阿爾花拉子模（Al-Khwarizmi，第九世紀）的一本代數著(zhù)作的書(shū)名 （Hisab al-jabr w‘al muqabala），原指“還原”（restoration）之意，例如將 2x+5 = 5-3x “還原”成 5x+5 = 8.這種代數不但未涉及符號法則（symbolism），當然也不曾引進(jìn)文字系數；同時(shí)，方程式（equation，原意是令相等之后所得到的式子）兩端也像天平平衡一樣而不等于零，譬如二次方程就表示成像x +6x=4等等；此外，求解程序也都以文字敘述。后來(lái)再由意大利數學(xué)家卡丹（G. Cardano， 1501-1576）全盤(pán)接收，因此，對西歐人而言才有“東來(lái)法”之說(shuō)。至于“符號代數”（symbolic algebra），則是第二種，亦即“阿爾熱巴拉新法”的主旨，源自法國數學(xué)家維達（F. Vieta， 1540-1603）著(zhù)作《解析方法入門(mén)》（Introduction to Analytic Art，1591-95）的發(fā)明。它的特征除了代數方程的系數以文字符號表示、符號可以一如數目演算之外，方程式任何一端可以置零，譬如 ax +bx+c=0；還有，維達也特別強調代數是研究像二次方程這種“形式”（species or forms of things）的學(xué)問(wèn)，而算術(shù)則完全訴諸數目（species of numbers）。

　　有趣的是，當時(shí)中國人為了安心學(xué)習西算，遂將“東來(lái)”解釋成來(lái)自中國，于是，梅觳成就以《測圓海鏡》（元李冶撰）與《數理精蘊》中例子，來(lái)比較“天元術(shù)”與“借根方法”，證明它們“名異而實(shí)同”�？上�，中土“不知何故遂失其傳，猶幸遠人慕化，復得故物”，“東來(lái)之名”正好表示西人不忘本，如此說(shuō)來(lái)，中國人怎么可以不好好地學(xué)習西算呢。這是梅觳成為盛行于明末清初“西學(xué)中原說(shuō)”所下的最佳注腳。

　　如此說(shuō)來(lái)，康熙皇帝不可能對一樣是代數學(xué)的“阿爾熱巴拉新法”沒(méi)有興趣。問(wèn)題是：何以由康熙皇帝主編的《數理精蘊》只字不提“新法”？最主要的原因之一是：康熙皇帝無(wú)法了解符號演算的意義。這當然也可能涉及引進(jìn)者的數學(xué)素養及其數學(xué)傳統。事實(shí)上，《阿爾熱巴拉新法》是法國傳教士傅圣澤（Jean Francios Foucquet， 1665-1741）為了教導康熙皇帝學(xué)習“新代數”而寫(xiě)的。一七一一年之后，傅圣澤應召入宮伴讀西方天算。有一天，康熙想知道傅圣澤對代數的看法，于是，傅圣澤遂趁機介紹“新代數”，并強調它比“舊”代數更簡(jiǎn)單而且更具有一般性。其實(shí)，在《阿爾熱巴拉新法》卷一第一節中，傅圣澤即強調了“新法與舊法之所以異”：

　　或問(wèn)：阿爾熱巴拉舊法，乃最深遠之法也，何為又有新法，意必舊法猶有未善者與？

　　答曰：舊法未嘗不善，但于通融之處，有所不及也，故又有新法濟之。

　　既然如此，那么二法何以區別呢？傅圣澤指出：“所以異者，因舊法所用之記號，乃數目字樣，新法所用之記號，乃可以通融之記號。”所謂“通融記號”，即是指代數符號，“在中華可以用天干地支二十二字以代之”。為了說(shuō)明它的便利與巧妙，傅圣澤“試以一式明之。假如有一題，凡兩個(gè)數目字之平方，必包涵四件，乃每字之平方，與兩字相乘之兩長(cháng)方，今將十二之兩數目字以發(fā)明其理。”請參閱我們從該書(shū)所復印下來(lái)的插圖及說(shuō)明，即可發(fā)現傅圣澤試圖利用幾何意義從（10+2） =100+2（10）（2）+4來(lái)“類(lèi)推”（a+b） = a +2ab+b ，此二項式被翻譯成（甲+乙）（甲+乙）= 甲甲+二甲乙+乙乙（請注意該書(shū)“加號”與“等號”與現行不同）。從教學(xué)觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，傅圣澤的解釋可以說(shuō)是盡心盡力了，不過(guò)，對西算造詣頗深的康熙皇帝還是作出如下的反應：

　　諭王道化：朕自起身起身以來(lái)，每日同阿哥等察《阿而熱巴拉新法》，最難明  白，他說(shuō)比舊法易，看來(lái)比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 …… 還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無(wú)數目，即乘出來(lái)亦不知多少，看起來(lái)想是此人算法  平平耳。（參考《掌故叢編》二輯《清圣組諭旨二》）

　　在西方數學(xué)史上，符號代數在十六世紀末被發(fā)明之后，大約花了將近一世紀的時(shí)間才逐漸被數學(xué)家廣泛接受。究其原因，這些西方數學(xué)家應該跟康熙皇帝一樣，無(wú)法了解符號演算的意義。由此一歷史教訓，我們或可推論：符號代數的學(xué)習需要比較成熟的數學(xué)心智，因為即使天縱英明如康熙也表現得束手無(wú)策。所以，我們希望國中教師在講解一元一次方程的解法時(shí)，千萬(wàn)多一點(diǎn)耐心與包容，因為從數目演算到符號演算這個(gè)“認知跳躍”，對貴賤賢愚顯然一視同仁，都是必須努力才能跨越的門(mén)坎！