善的數和惡的數

　　一提起畢達格拉斯的名字，顯而易見(jiàn)，每一個(gè)人首先想到的是他的著(zhù)名的定理，按照這個(gè)定理，直角三角形的直角邊的平方和等于斜邊的平方。除了這個(gè)定理以外，畢達格拉斯是否還有什么別的發(fā)現，就很少有人知道了，可是，大家卻都知道這個(gè)定理正是屬于畢達格拉斯的。

　　但是最令人詫異的是，我們甚至沒(méi)有充分的把握說(shuō)世界上是否曾經(jīng)確實(shí)有過(guò)畢達格拉斯這樣一個(gè)人。關(guān)于他，人們編造了那么多荒唐的故事，只有幼稚無(wú)知的人才會(huì )對此信以為真。其中有這樣一個(gè)情節：有一天，畢達格拉斯散步來(lái)到河邊。河流趕緊從河槽里出來(lái)，并且高呼：“你好哇！畢達格拉斯！”這類(lèi)傳說(shuō)的真偽，讀者自可斷定。

　　我們現在僅僅知道，在公元前六世紀這段和畢達格拉斯的生活有關(guān)的時(shí)間，古希臘有一所大型的哲學(xué)數學(xué)學(xué)校，人們把這所學(xué)校的學(xué)生稱(chēng)為畢達格拉斯的信徒。這所學(xué)校所發(fā)生的一切事情都隱藏在秘幕之后。畢達格拉斯學(xué)派的信徒們遵循所承擔的某種義務(wù)，把他們取得的所有成果都妄加在他們超人的老師畢達格拉斯一個(gè)人的頭上�？墒�，很可能實(shí)際上根本不存在這個(gè)什么“超人”的老師。

　　在人類(lèi)社會(huì )的歷史中，不止一次地遇到過(guò)類(lèi)似的現象。例如，就在我們的今天，有一個(gè)法國數學(xué)家小組把自己所有的著(zhù)作都用尼古拉。笨了巴吉這同一個(gè)名字出版。大家知道，沒(méi)有一位數學(xué)家叫這個(gè)名字，可是，這個(gè)小組的成員都情愿做這同樣的游戲，他們發(fā)表意見(jiàn)時(shí)，從來(lái)不提整個(gè)的小組，而只用笨了巴吉一個(gè)人的名義。

　　我們還想起盡人皆知的科濟馬。普魯特科夫。在上一個(gè)世紀，三位俄羅斯作家——熱姆楚日尼科夫兄弟和阿�？�。托爾斯泰，就用這個(gè)筆名發(fā)表作品，他們塑造了這么一個(gè)不可救藥的好發(fā)表長(cháng)篇議論的人物形象，他善于以驚人的莊重煞有介事地說(shuō)出一些老生常談。他們甚至還虛構了一份普魯特科夫的履歷。

　　可是，如果說(shuō)我們現在知道實(shí)際上并不存在笨了巴吉和科濟馬。普魯特科夫這樣的人，那么，遇到畢達格拉斯這種情況，我們就沒(méi)有這種把握，因為我們和所研究的那個(gè)時(shí)代相隔兩千五百年之久。我們只能說(shuō)：不能排除這種情況，即作為一個(gè)人，畢達格拉斯并不存在。但我們確信：冠以畢達格拉斯名字的定理是巴比倫人在他一千多年以前發(fā)現的。很可能像已經(jīng)指出過(guò)的那樣，埃及人也熟悉這個(gè)定理。不能排除的是，畢達格拉斯學(xué)派的門(mén)徒們獨立于巴比倫人或埃及人單獨地發(fā)現了這個(gè)定理，但無(wú)可爭議的是，這一發(fā)現的優(yōu)先權不屬于畢達格拉斯學(xué)派。

　　有趣的是，盡管我們連實(shí)際上是否有過(guò)畢達格拉斯這個(gè)人都沒(méi)有把握斷定，我們卻擁有他相當詳細而又引人注目的傳記。據說(shuō)，在公元前580年，畢達格拉斯出生于薩莫斯島。人們因此稱(chēng)他為畢達格拉斯。薩摩斯基，以免和另一個(gè)叫畢達格拉斯。列基斯基的雕刻家相混淆（后者也出生于薩莫斯，但是在列基亞城生活和工作）。按照當時(shí)許多富有的年輕人的慣例，畢達格拉斯年輕時(shí)曾經(jīng)多次進(jìn)行對他頗為有益處的旅行。他游歷過(guò)巴比倫，地中海東岸各國和埃及。他在埃及時(shí)，正值波斯國王岡比希侵略這個(gè)國家。在一座高大的金字塔的石墻附近，畢達格拉斯和其他人一起被俘�？赡芎蛣e人一樣，有一段時(shí)間他變成了奴隸�？墒�，他作為一位圣賢和術(shù)士的聲望在當時(shí)已經(jīng)如此之高，以至于當岡比希國王得知是誰(shuí)成為他的俘虜時(shí)，就立即命令馬上釋放畢達格拉斯，而且，可以斷定，還極為誠摯地向他道了歉。

　　當畢達格拉斯返回故鄉薩莫斯時(shí)，人們把他當作一位偉大的學(xué)者和術(shù)士來(lái)歡迎。據說(shuō)，他從到東方游歷那時(shí)起，就接受了穿當時(shí)迦勒底術(shù)士所穿的豪華的衣服的習慣。這種衣服其中一個(gè)主要部分就是有一條華美的頭飾。有一幅畢達格拉斯的畫(huà)像，畫(huà)的就是戴著(zhù)外國式樣的華麗的赫拉克勒斯（希臘神話(huà)中最偉大的英雄）式的威武的形象�？墒�，畢達格拉斯是否如畫(huà)像所畫(huà)的那樣（即使我們假定有畢達格拉斯這個(gè)人），這一點(diǎn)誰(shuí)也沒(méi)有把握斷定。

　　島上的青年開(kāi)始聚集在這位圣賢的周?chē)�。這些青年大都出身于貴族家庭。這樣，就成立了學(xué)校。這所學(xué)校的一切都仿照東方的習俗，籠罩著(zhù)不可思議的神秘氣氛。例如，據說(shuō)不是畢達格拉斯所有的門(mén)生都有資格見(jiàn)到自己的老師。那些既有資格見(jiàn)到老師，又有資格聽(tīng)他教誨的，才是名副其實(shí)的學(xué)生。而那些只有資格聽(tīng)課，卻見(jiàn)不到老師的，被稱(chēng)為旁聽(tīng)生。有些杜撰畢達格拉斯傳記細節的無(wú)聊作者由此推斷說(shuō)，畢達格拉斯教書(shū)的房間是用麻布一隔兩半的。老師本人所在的那半間坐著(zhù)學(xué)生，另半間留給旁聽(tīng)生用。

　　在學(xué)校學(xué)一些什么呢？主要是哲學(xué)和數學(xué)。古希臘時(shí)代，這兩個(gè)學(xué)科不像我們今天所看到的這樣彼此分開(kāi)。當時(shí)，每一位哲學(xué)家通常也是數學(xué)家，反之亦然。然而，對于畢達格拉斯學(xué)派的門(mén)徒們來(lái)說(shuō)，這種哲學(xué)——數學(xué)具有這樣一種先驗的，神秘的性質(zhì)，其中有許多東西及來(lái)自于輪回（關(guān)于靈魂轉世的神秘學(xué)說(shuō)），又來(lái)自于迦勒底人的神秘（關(guān)于數的神秘性質(zhì)的學(xué)說(shuō)），等等。

　　可是，聚集在畢達格拉斯周?chē)�的年輕人很少只是學(xué)習科學(xué)。他們很快就介入島上的政治生活，而置薩莫斯島的獨裁者波利克拉特的態(tài)度于不顧。“獨裁者”這個(gè)詞在當時(shí)還沒(méi)有他后來(lái)所獲得的基本意義。當時(shí)的獨裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反對貴族的。畢達格拉斯的門(mén)徒們的貴族傾向不合波利克拉特的意，他們的學(xué)校很快就被搗毀了。神秘數學(xué)的信徒們連同他們超人的老師一起，被迫從島上逃跑了。他們很可能是沿著(zhù)整個(gè)地中海遷移。他們大部分定居在被稱(chēng)為偉大國家的希臘。亞平寧半島的南部和西西里島也因此而獲得了偉大的稱(chēng)號。畢達格拉斯本人定居在塔連特，他在那里又當上了校長(cháng)。年輕人又像在薩莫斯那樣聚集在他的周?chē)�，可是，這所學(xué)校遭到了和薩莫斯島上的那所學(xué)校同樣的命運。畢達格拉斯遷移到科羅多尼，又從那里跑到米太旁登，正像前面所提到的那樣，他八十歲或者九十歲時(shí)，死于米太旁登街道上的一次夜間搏斗之中。

　　現在，我們再來(lái)介紹一下畢達格拉斯學(xué)派所從事的科學(xué)研究。畢達格拉斯學(xué)派特別喜愛(ài)的數學(xué)領(lǐng)域之一是數論。當時(shí)，吸引他們的乃是數的某些符合他們帶有東方神秘色彩的神秘哲學(xué)的性質(zhì)。

　　畢達格拉斯學(xué)派認為，世界上的一切都服從于整數的比數所服從的那樣的規律。他們發(fā)現，在用力相等的情況下，弦長(cháng)的比數等于像2：3，3：4等等自然數的比數時(shí)，各弦就同時(shí)發(fā)出諧音。他們把這種局部的現象推及到整個(gè)宇宙。這樣，按照他們的學(xué)說(shuō)，地球，月亮，當時(shí)已知的所有的行星以及太陽(yáng)都圍繞著(zhù)某個(gè)中心火球的球面旋轉。這些球面的半徑同樣也有和發(fā)出諧音的弦長(cháng)那樣的比數。任何可以列舉出來(lái)的宇宙中的物體，在其運動(dòng)時(shí)似乎也都發(fā)出這樣的諧音。

　　盡管畢達格拉斯學(xué)派的宇宙構造論帶有神秘的性質(zhì)，地球圍繞著(zhù)某個(gè)中心旋轉的正確思想確是以此為基礎的，盡管畢達格拉斯學(xué)派所指的這個(gè)中心不是太陽(yáng)，而是某個(gè)不存在的中心火球。

　　畢達格拉斯學(xué)派把所有的整數分為善的和惡的兩種。奇數為善的，偶數為惡的。單位數1被認為即是善的又是惡的開(kāi)始，因為善的奇數加上它就變成為惡的數，而惡的數加上它就變成為善的數。

　　畢達格拉斯學(xué)派的思想中的許多東西在數學(xué)中得到了進(jìn)一步的發(fā)展。從畢達格拉斯學(xué)派所研究的數論中自然提出了許多問(wèn)題，由此導出了非常重要而又難以得到的結果。

　　也就是在畢達格拉斯學(xué)派正陶醉于這種宇宙的整數諧音的時(shí)候，他們發(fā)現，原來(lái)還有一些不能寫(xiě)成整數的比數的數。例如，√2就是這樣一個(gè)數。這使他們如聞霹靂，大為震驚。

　　為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們還是回到畢達格拉斯定理上來(lái)。我們不禁想到，一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這里，我們會(huì )取一個(gè)每條直角邊都等于1的等腰直角三角形。那么，根據上述定理，斜邊的平方等于2，因此斜邊本身等于√2.但是，√2不可能寫(xiě)成兩個(gè)整數的比數。今天，都知道這個(gè)數是無(wú)理數。畢達格拉斯學(xué)派自己顯然沒(méi)有明確的無(wú)理數的概念，但是他們發(fā)現了這樣一個(gè)事實(shí)，就是有些線(xiàn)段的長(cháng)度無(wú)法使它們和整數的比數相等。這一發(fā)現從根本上和他們的“整數”哲學(xué)相抵觸。他們怎么辦呢？除了他們心里想到的以外，什么也沒(méi)有做。他們設法隱瞞了自己的發(fā)現，不讓未得真傳的人們知道。沒(méi)有無(wú)理數！什么也沒(méi)有！有的只是整數和它們的比數！

　　然而，想瞞也瞞不住，誰(shuí)也無(wú)法長(cháng)期隱瞞這一發(fā)現，過(guò)了一段時(shí)間，無(wú)理數的秘密就開(kāi)始被不是畢達格拉斯學(xué)生的那些人知道了。據說(shuō)，這個(gè)秘密是被畢達格拉斯的一個(gè)名叫基普帕斯的學(xué)生泄露出去的。從畢達格拉斯學(xué)派的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，這是駭人聽(tīng)聞的罪行！要知道，他們每個(gè)人入學(xué)時(shí)，都莊嚴地宣誓要始終嚴守秘密，然后才能允許入學(xué)�，F在卻出現了違背這一誓言的罪人。怎樣處置他呢？畢達格拉斯的門(mén)徒們祈求神靈的幫助。當基普帕斯的船隊載著(zhù)大量的貨物返回故鄉的港灣時(shí)，海神普賽登使他遭受到了可怕的暴風(fēng)雨。暴風(fēng)雨開(kāi)始沖散了船隊，然后使船連同船主一起沉歿。這個(gè)傳說(shuō)當然是畢達格拉斯的門(mén)徒們自己編造出來(lái)的。

　　顯然，很難想象一個(gè)埃及人如果知道了有什么長(cháng)度不能用整數的比數來(lái)表示，他們會(huì )這么憂(yōu)愁。埃及人還根本不能把類(lèi)似的事實(shí)當作具有原則意義的事實(shí)，他們沒(méi)有達到這樣的數學(xué)程度。到了畢達格拉斯時(shí)，這些事實(shí)的原則上的重要性已經(jīng)充分地認識到了。這時(shí)，對于我們下面要研究的那些問(wèn)題已經(jīng)產(chǎn)生了興趣。從其實(shí)用價(jià)值的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，這些問(wèn)題可能被認為是不重要的，但在作為一種科學(xué)理論的數學(xué)中，卻是非常重要和必要的。

　　不應當這樣認為：不能直接從某一個(gè)科學(xué)的事實(shí)中得到利益，就只能使這個(gè)事實(shí)成為理論的財富。理論本身是人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，對于理論具有價(jià)值的東西，從實(shí)踐這個(gè)詞最直接的意義上來(lái)說(shuō)，歸根到底，對于實(shí)踐也是重要的。