導數定義的三種表達形式
來(lái)源：高三網(wǎng) 2021-11-29 22:50:38
第一種：f '(x0)=lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)；第二種：f '(x0)=lim[h→0] [f(x0+h)-f(x0)]/h；第三種：f '(x0)=lim [Δx→0] Δy/Δx。導數也叫導函數值，又名微商，是微積分中的重要基礎概念。
1導數
當函數y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。
導數是函數的局部性質(zhì)。一個(gè)函數在某一點(diǎn)的導數描述了這個(gè)函數在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實(shí)數的話(huà)，函數在某一點(diǎn)的導數就是該函數所代表的曲線(xiàn)在這一點(diǎn)上的切線(xiàn)斜率。導數的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對函數進(jìn)行局部的線(xiàn)性逼近。例如在運動(dòng)學(xué)中，物體的位移對于時(shí)間的導數就是物體的瞬時(shí)速度。
不是所有的函數都有導數，一個(gè)函數也不一定在所有的點(diǎn)上都有導數。若某函數在某一點(diǎn)導數存在，則稱(chēng)其在這一點(diǎn)可導，否則稱(chēng)為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
對于可導的函數f(x)，x?f'(x)也是一個(gè)函數，稱(chēng)作f(x)的導函數（簡(jiǎn)稱(chēng)導數）。尋找已知的函數在某點(diǎn)的導數或其導函數的過(guò)程稱(chēng)為求導。實(shí)質(zhì)上，求導就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導數的四則運算法則也來(lái)源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以反過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數，即不定積分。
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