高中數學(xué)線(xiàn)性規劃知識點(diǎn)及典型例題詳解

一、知識梳理

1目標函數：P=2x+y是一個(gè)含有兩個(gè)變量x和y的函數，稱(chēng)為目標函數。

2 可行域：約束條件表示的平面區域稱(chēng)為可行域。

3 整點(diǎn)：坐標為整數的點(diǎn)叫做整點(diǎn)。

4 線(xiàn)性規劃問(wèn)題：求線(xiàn)性目標函數在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱(chēng)為線(xiàn)性規劃問(wèn)題。只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線(xiàn)性規劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決。

5整數線(xiàn)性規劃：要求量整數的線(xiàn)性規劃稱(chēng)為整數線(xiàn)性規劃。

二、疑難知識導析

線(xiàn)性規劃是一門(mén)研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設計、經(jīng)濟管理中實(shí)際問(wèn)題的專(zhuān)門(mén)學(xué)科，主要在以下兩類(lèi)問(wèn)題中得到應用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定和條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù);二是給一項任務(wù)，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項任務(wù)。

1對于不含邊界的區域，要將邊界畫(huà)成虛線(xiàn)。

2 確定二元一次不等式所表示的平面區域有種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線(xiàn)上的點(diǎn)，檢驗它的坐標是否滿(mǎn)足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側即為不等式所表示的平面區域;否則，直線(xiàn)的另一端為所求的平面區域。若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，通常選擇原點(diǎn)代入檢驗。

3 平移直線(xiàn)y=-kx+P時(shí)，直線(xiàn)必須經(jīng)過(guò)可行域。

4 對于有實(shí)際背景的線(xiàn)性規劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一象限內的一個(gè)凸多邊形區域，此時(shí)變動(dòng)直線(xiàn)的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)。

5 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規劃問(wèn)題就是求線(xiàn)性目標函數在線(xiàn)性約束條件下的最優(yōu)解，無(wú)論此類(lèi)題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出，其求解的格式與步驟是不變的：

(1)尋找線(xiàn)性約束條件，線(xiàn)性目標函數;

(2)由二元一次不等于表示的平面區域做出可行域;

(3)在可行域內求目標函數的最優(yōu)解。

積儲知識：

一、

1.占P(x0，y0)在直線(xiàn)Ax+By+C=0上，則點(diǎn)P坐標適合方程，即Ax0+ y0+C=0

2.點(diǎn)P(x0，y0)在直線(xiàn)Ax+By+C=0上方(左上或右下)，則當B>0時(shí)，Ax0+ y0+C >0;當B<0時(shí)，Ax0+ y0+C<0

3.點(diǎn)P(x0+，y0)D在直線(xiàn)Ax0+ y0+C=0下方(左下或右下)，當B>0時(shí)，Ax0+ y0+C<0;當B>0時(shí)，Ax0+ y0+C>0

注意：(1)在直線(xiàn)Ax+ By+C=0同一側的所有點(diǎn)，把它的坐標(x，y)代入Ax+ By+C=0，所得實(shí)數的符號都相同。

(2)在直線(xiàn)Ax+ By+C=0的兩側的兩點(diǎn)，把它的坐標代入Ax+ By+C，所得實(shí)數的符號相反。

即：

1.點(diǎn)(P x1，y1)和Q(x2，y2)在直線(xiàn)Ax+By+C=0的同側，則有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0

2. 點(diǎn)(P x1，y1)和Q(x2，y2)在直線(xiàn)Ax+By+C=0的同側，則有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0

二、二元一次不等式表示平面區域：

①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<)在平面直角坐標系中表示直線(xiàn)Ax+By+C=0某一側所有點(diǎn)組成的平面區域，不包括邊界;

②二元一次不等式Ax+By+C≥0(≤0)在平面直角坐標系中表示直線(xiàn)Ax+By+C0

某一側所有點(diǎn)組成的平面區域且包括邊界;

注意：作圖時(shí)，不包括邊界畫(huà)成虛線(xiàn);包括邊界畫(huà)成實(shí)線(xiàn)。

三、判斷二元一次不等式表示哪一側平面區域的方法：

方法一：取特殊點(diǎn)檢驗：“直線(xiàn)定界、特殊點(diǎn)定域”

原因：由于對在直線(xiàn)Ax+By+C0的同一側的所有點(diǎn)(x，y)把它的坐標系(x，y)代入Ax+By+C，所得到的實(shí)數的符號都相同，所以只需在此直線(xiàn)的某一側取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0+By0+C的正負即可判Ax+By+C>0表示直線(xiàn)哪一側的平面區域。特殊地，當C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當C=0時(shí)，可用(0，1)或(1，0)當特殊點(diǎn)，若點(diǎn)坐標代入適合不等式則此點(diǎn)所在的區域為需畫(huà)的區域，否則是另一側區域為需畫(huà)區域。

方法二：利用規律：

1.Ax+By+C>0，當B>0時(shí)表示直線(xiàn)Ax+By+C=0上方(左上或右上)，當B<0時(shí)表示直線(xiàn)Ax+By+C=0下方(左下或右下);

2.Ax+By+C<0，當B>0時(shí)表示直線(xiàn)Ax+By+C=0下方(左下或右下)當B>0時(shí)表示直線(xiàn)Ax+By+C=0上方(左上或右上)。

四、線(xiàn)性規劃的有關(guān)概念：

①線(xiàn)性約束條件：

②線(xiàn)性目標函數：

③線(xiàn)性規劃問(wèn)題：

④可行解、可行域和最優(yōu)解：

典型例題

典型例題——————畫(huà)區域