數學(xué)學(xué)習方法的探索

    本文著(zhù)重闡述了中學(xué)數學(xué)素質(zhì)教學(xué)中數學(xué)學(xué)習方法的探索從數學(xué)教學(xué)的角度、數學(xué)本身的角度、數學(xué)學(xué)習的角度、數學(xué)內容的性質(zhì)角度等四個(gè)方面如何實(shí)施數學(xué)學(xué)習方法的指導談?wù)勛约旱恼J識。

    近幾年來(lái)，旨在教會(huì )學(xué)生會(huì )學(xué)習、提高學(xué)生自學(xué)能力的學(xué)法指導的研究和實(shí)踐已是基礎教育改革的一個(gè)熱門(mén)課題。這一課題的提出和研究，不僅對當前提高基礎教育質(zhì)量、實(shí)施素質(zhì)教育具有現實(shí)意義，而且對培養未來(lái)社會(huì )發(fā)展所需要的人才、促進(jìn)科教興國具有歷史意義。隨著(zhù)社會(huì )、經(jīng)濟、科技的高速發(fā)展，數學(xué)的應用越來(lái)越廣，地位越來(lái)越高，作用越來(lái)越大。不僅如此，數學(xué)教育的實(shí)踐和歷史還表明，數學(xué)作為一種文化，對人的全面素質(zhì)的提高具有巨大的影響。因此，提高基礎教育中的數學(xué)教學(xué)質(zhì)量，就顯得尤為重要�？赡壳坝捎谑�“應試教育”的影響，數學(xué)教學(xué)中違背教育規律的現象和做法時(shí)有發(fā)生，為此更新數學(xué)教學(xué)思想、完善數學(xué)教學(xué)方法就顯得更加迫切。在數學(xué)教學(xué)中，開(kāi)展學(xué)法指導，正是改革數學(xué)教學(xué)的一個(gè)突破口。

    一、對數學(xué)教學(xué)如何實(shí)施數學(xué)學(xué)習方法的指導，人們進(jìn)行了許多有益的探索和實(shí)驗。首先是通過(guò)觀(guān)察、調查，歸納總結了中學(xué)生數學(xué)學(xué)習中存在的問(wèn)題，如“學(xué)習懶散，不肯動(dòng)腦；不訂計劃，慣性運轉；忽視預習，坐等上課；不會(huì )聽(tīng)課，事倍功半；死記硬背，機械模仿；不懂不問(wèn)，一知半解；不重基礎，好高騖遠；趕做作業(yè)，不會(huì )自學(xué)；不重總結，輕視復習”等等。針對這些問(wèn)題，提出了相應的數學(xué)學(xué)法指導的途徑和方法，如數學(xué)全程滲透式（將學(xué)法指導滲透于制訂計劃、課前預習、課堂學(xué)習、課后復習、獨立作業(yè)、學(xué)習總結、課外學(xué)習等各個(gè)學(xué)習環(huán)節之中）；建立數學(xué)學(xué)習常規（課堂常規———情境美，參與高，求卓越，求效率；課后常規———認真讀書(shū)，整理筆記，深思熟慮，勇于質(zhì)疑；作業(yè)常規———先復習，后作業(yè)，字跡清楚，表述規范，計算正確，填好《作業(yè)檢測表》，重做錯題）等等。誠然，這對于端正學(xué)習態(tài)度、養成學(xué)習習慣、提高學(xué)業(yè)成績(jì)、優(yōu)化學(xué)習品質(zhì)，采勸對癥下藥”的策略，開(kāi)展對學(xué)習常規的指導，無(wú)疑會(huì )收到較好的效果。但是，數學(xué)學(xué)習方法的指導，決不能忽視數學(xué)所特有的學(xué)習方法的指導�？梢哉f(shuō)，這才是數學(xué)學(xué)法指導之內核和要害。也就是說(shuō)，數學(xué)學(xué)法指導應該著(zhù)重指導學(xué)生學(xué)會(huì )理解數學(xué)知識、學(xué)會(huì )解決數學(xué)問(wèn)題、學(xué)會(huì )數學(xué)地思維、學(xué)會(huì )數學(xué)交流、學(xué)會(huì )用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題等。有鑒于此，筆者主要從“數學(xué)”、“數學(xué)學(xué)習”出發(fā)，來(lái)闡釋數學(xué)學(xué)習方法，論述數學(xué)學(xué)法指導。

    二、從數學(xué)的角度出發(fā)，就是要考察。關(guān)數學(xué)的特點(diǎn)于數學(xué)的特點(diǎn)，雖仍有爭議，但傳統或者說(shuō)比較科學(xué)的提法仍是３條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性。

    1．數學(xué)研究的對象本來(lái)是現實(shí)的，但由于數學(xué)僅從空間形式與數量關(guān)系方面來(lái)反映客觀(guān)現實(shí)，所以數學(xué)是逐級抽象的產(chǎn)物。比如三角形形狀的實(shí)物模型隨處可見(jiàn)，多種多樣，名目繁多，但數學(xué)中的“三角形”卻是一種抽象的思維形式（概念），撇開(kāi)了人們常見(jiàn)的各種三角形形狀實(shí)物的諸多性質(zhì)（如天然屬性、物理性質(zhì)等）。因此，學(xué)習數學(xué)首當其沖的是要學(xué)習抽象。而抽象又離不開(kāi)概括，也離不開(kāi)比較和分類(lèi)，可以說(shuō)比較、分類(lèi)、概括是抽象的基礎和前提。比如，要從已經(jīng)過(guò)抽象得出的物體運動(dòng)速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、產(chǎn)品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金屬加熱引起的長(cháng)度變化ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函數ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，顯然要經(jīng)過(guò)比較（它們的異同）和概括（它們的共同特征）。根據數學(xué)高度抽象性的特點(diǎn)，數學(xué)學(xué)法指導要強調比較、分類(lèi)、概括、抽象等思維方法的指導。

    2．數學(xué)結論的可*性有其嚴格的要求，觀(guān)察和實(shí)驗不能作為論證的依據和方法，而是要經(jīng)過(guò)邏輯推理（表現為證明或計算），方能得以承認。比如，“三角形內角和為１８０°”這個(gè)結論，通過(guò)測量的方法是不能確立的，唯有在歐氏幾何體系中經(jīng)過(guò)數學(xué)證明才能肯定其正確性（確定性）。在數學(xué)中，只有通過(guò)邏輯證明和符合邏輯的計算而得到的結論，才是可*的。事實(shí)上，任何數學(xué)研究都離不開(kāi)證明和計算，證明和計算是極其主要的數學(xué)活動(dòng)，而通常所說(shuō)的“數學(xué)思想方法往往是數學(xué)中證明和計算的方法。探求數學(xué)問(wèn)題的解法也就是尋找相應的證明或計算的具體方法。從這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，證明或計算是任何一種數學(xué)思想方法的組成部分，又是任何一種數學(xué)思想方法的目標和表述形式”。又由于證明和計算主要依*的是歸納與演繹、分析與綜合，所以根據數學(xué)邏輯的嚴謹性特點(diǎn)，數學(xué)學(xué)法指導要重視歸納法、演繹法、分析法、綜合法的指導。

    3．由于任何客觀(guān)對象都有其空間形式和數量關(guān)系，因而從理論上說(shuō)以空間形式與數量關(guān)系為研究對象的數學(xué)可以應用于客觀(guān)世界的一切領(lǐng)域，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無(wú)處不用數學(xué)。應用數學(xué)解決問(wèn)題，不但首先要提出問(wèn)題，并用明確的語(yǔ)言加以表述，而且要建立數學(xué)模型，還要對數學(xué)模型進(jìn)行數學(xué)推導和論證，對數學(xué)結果進(jìn)行檢驗和評價(jià)。也就是說(shuō)，數學(xué)之應用，它不僅表現為一種工具，一種語(yǔ)言，而且是一種方法，是一種思維模式。根據數學(xué)應用的廣泛性特點(diǎn)，數學(xué)學(xué)法指導還要指導學(xué)生建立和操作數學(xué)模型，以及進(jìn)行檢驗和評價(jià)。

    三從數學(xué)學(xué)習的角度出發(fā)，就是要通過(guò)對數學(xué)學(xué)習過(guò)程的考察，引申出數學(xué)學(xué)法指導的內容和策略。關(guān)于數學(xué)學(xué)習的過(guò)程，比較新穎的觀(guān)點(diǎn)是：“在原有行為結構與認知結構的基礎上，或是將環(huán)境對象納入其間（同化），或是因環(huán)境作用而引起原有結構的改變（順應），于是形成新的行為結構與認知結構，如此不斷往復，直到達成相對的適應性平衡”。通過(guò)對這一認識的分析和理解，就數學(xué)學(xué)法指導而言，可概括出以下３點(diǎn)：

    1．行為結構既是學(xué)習新知的目的和結果，又是學(xué)習新知的基礎，因而在數學(xué)教學(xué)中亦需注重外部行為結構形成的指導。由于這種外部行為主要包括外部實(shí)物操作和外部符號（主要是語(yǔ)言）活動(dòng)，所以在數學(xué)學(xué)法指導中，一要重視學(xué)具的操作（可要求學(xué)生盡可能多地制作學(xué)具，操作學(xué)具）；二要重視學(xué)生的言語(yǔ)表達（給學(xué)生盡可能多地提供言語(yǔ)交流的機會(huì )，可以是教師與學(xué)生間的交流，也可以是學(xué)生與學(xué)生之間的交流）。

    2．認知結構同樣既是學(xué)習新知的目的和結果，也是學(xué)習新知的基礎，故而數學(xué)教學(xué)要加強數學(xué)認知結構形成的指導。所謂數學(xué)認知結構，是指學(xué)生頭腦中的知識結構按自己的理解深度、廣度，結合自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維等認知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內部規律的整體結構。因此，對于學(xué)生形成數學(xué)認知結構的指導，關(guān)鍵在于不斷地提高所呈現的數學(xué)知識和經(jīng)驗的結構化程度。在數學(xué)學(xué)法指導中，須注意如下幾點(diǎn)：①加強數學(xué)知識間聯(lián)系的教學(xué)。無(wú)論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應用，尤其是知識的復習和整理，都要從知識間的聯(lián)系出發(fā)。②重視數學(xué)思想的挖掘和滲透。由于數學(xué)思想是對數學(xué)的本質(zhì)的認識，因而數學(xué)思想是數學(xué)知識結構建立的基礎。常見(jiàn)的數學(xué)思想有：符號思想、對應思想、數形結合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重數學(xué)方法的明晰教學(xué)。數學(xué)方法作為解決問(wèn)題的手段，是建立數學(xué)知識結構的橋梁。常見(jiàn)的數學(xué)方法有：化歸法、構造法、參數法、變換法、換元法、配方法、反證法、數學(xué)歸納法等

    3．在原有行為結構與認知結構的基礎上，無(wú)論是通過(guò)同化，還是通過(guò)順應來(lái)獲得新知，必須是在一種學(xué)習機制的作用下方能實(shí)現。而這種學(xué)習機制主要就是對學(xué)習新知過(guò)程的監控和調節，即所謂的元學(xué)習。實(shí)質(zhì)上，能否會(huì )學(xué)，關(guān)鍵就在于這種學(xué)習是否建立起來(lái)。于是，元學(xué)習的指導又成為數學(xué)方法指導的重要內容。為此，在數學(xué)學(xué)法指導中，需要注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數學(xué)活動(dòng)方式的概括，如遇到一個(gè)數學(xué)證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數學(xué)理論或技能的應用背景和條件的概括，如掌握換元法的具體步驟，獲得換元技能，懂得在什么條件下應用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學(xué)生了解影響數學(xué)學(xué)習（數學(xué)認知）的各種因素。比如，學(xué)習材料的呈現方式是文字的、字母的，還是圖形的；學(xué)習任務(wù)是計算、證明，還是解決問(wèn)題，等等。這些學(xué)習材料和學(xué)習任務(wù)方面的因素，都對數學(xué)學(xué)習產(chǎn)生影響。③要充分揭示數學(xué)思維的過(guò)程。比如，揭示知識的形成過(guò)程、思路的產(chǎn)生過(guò)程、嘗試探索過(guò)程和偏差糾正過(guò)程。④幫助學(xué)生進(jìn)行自我診斷，明確其自身數學(xué)學(xué)習的特征。比如：有的學(xué)生擅長(cháng)代數，而認知幾何較差；有的學(xué)生記憶力較強而理解力較弱；還有的學(xué)生口頭表達不如書(shū)面表達等。⑤指導學(xué)生對學(xué)習活動(dòng)進(jìn)行評價(jià)。如評價(jià)問(wèn)題理解的正確性、學(xué)習計劃的可行性、解題程序的簡(jiǎn)捷性、解題方法的有效性等諸多方面。⑥幫助學(xué)生形成自我監控的意識。如監控認知方向意識、認知過(guò)程意識和調節認知策略意識等等。

    四根據數學(xué)內容的性質(zhì)，數學(xué)教學(xué)一般可分為概念教學(xué)、命題（主要有定理、公式、法則、性質(zhì)）教學(xué)、例題教學(xué)、習題教學(xué)、總結與復習等5類(lèi)。相應地，數學(xué)學(xué)法指導的實(shí)施亦需分別落實(shí)到這５類(lèi)教學(xué)之中。這里僅就例題教學(xué)中如何實(shí)施數學(xué)學(xué)法指導談?wù)勛约旱恼J識。

    1．根據學(xué)生的學(xué)情安排例題。如前所述，學(xué)習新知必須建立在已有的基礎之上，從內容上講，這個(gè)基礎既包括知識基礎，又包括認知水平和認知能力，還包括學(xué)習興趣、認知意識，乃至學(xué)習態(tài)度等有關(guān)學(xué)習動(dòng)力系統方面的準備。因此，無(wú)論是選配例題，還是安排例題，都要考慮到學(xué)生的學(xué)習情況，尤其是要考慮激發(fā)學(xué)生認知興趣和認知需求的原則（稱(chēng)之為動(dòng)機原則）。在例題選配和安排中，可采取增、刪、調的策略，力求既突出重點(diǎn)，又符合學(xué)生的學(xué)情。所謂增，即根據學(xué)生的認知缺陷增補鋪墊性例題，或者為突破某個(gè)難點(diǎn)增加過(guò)渡性例題。所謂刪，即根據學(xué)生情況，刪去比較簡(jiǎn)單的例題或要求過(guò)高的難題。所謂調，即根據學(xué)生的實(shí)際水平，將后面的例題調至前面先教，或者將前面的例題調到后面后教。

    2．根據學(xué)習目標和任務(wù)精選例題。例題的作用是多方面的，最基本的莫過(guò)于理解知識，應用知識，鞏固知識；莫過(guò)于訓練數學(xué)技能，培養數學(xué)能力，發(fā)展數學(xué)觀(guān)念。為發(fā)揮例題的這些基本作用，就要根據學(xué)習目標和任務(wù)選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個(gè)知識點(diǎn)、某項數學(xué)技能、某種數學(xué)能力等重點(diǎn)內容而增補強化性例題，或者根據聯(lián)系社會(huì )發(fā)展的需要，增加補充性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過(guò)時(shí)的例題。所謂并，即為突出某項內容把單元內前后的幾個(gè)例題合并為一個(gè)例題，或者為突出知識間的聯(lián)系打破單元界限而把不同內容的例題綜合在一起。

    3．根據解題的心理過(guò)程設計例題教學(xué)程序。按照波利亞的解題理論，一般把解題過(guò)程分為弄清問(wèn)題、擬定計劃、實(shí)現計劃、回顧等４個(gè)階段。這是針對解題過(guò)程本身而言的。但就解題教學(xué)來(lái)說(shuō)，還應當增加一個(gè)步驟，也是首要環(huán)節，即要使學(xué)生“進(jìn)入問(wèn)題情境”，讓學(xué)生產(chǎn)生一種認知的需要。對于“進(jìn)入問(wèn)題情境”環(huán)節，要求教師用簡(jiǎn)短的語(yǔ)言，在承上啟下中，提出學(xué)習目標，明確學(xué)習任務(wù)，激起認知沖突。而對其余４個(gè)環(huán)節，教師的行為可按波利亞的“怎樣解題表”中的要求去構思。一般教師和學(xué)生都能夠注意做到做好前３個(gè)環(huán)節，卻容易忽視“回顧”環(huán)節。嚴格說(shuō)來(lái)，回顧環(huán)節對解題能力的提高，對例題教學(xué)目的的實(shí)現起著(zhù)不可替代的作用。對回顧環(huán)節來(lái)講，除波利亞提出的幾條以外，更為主要的是對解題方法的概括和反思，并使其能遷移到其它問(wèn)題的解決之中。

    4．根據數學(xué)方法指導的目的和內容適度調整例題。通常，人們根據問(wèn)題的條件（Ａ）、解決的過(guò)程（Ｂ）及問(wèn)題的結論（Ｃ）的情況把數學(xué)題劃分為標準題和非標準題兩大類(lèi)：如果條件和結論都明確，學(xué)生也熟知解題過(guò)程（即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），這種題為標準題（記為ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中缺少一個(gè)或兩個(gè)要素的題則為非標準題。如果分別用Ｘ、Ｙ、Ｚ表示對應于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，則非標準題的題型（計６種）可表示為：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。數學(xué)教材中的例題大多數是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和極少數的ＡＹＺ型。由于數學(xué)學(xué)法指導的一項重要任務(wù)是教學(xué)生會(huì )抽象、概括、歸納、演繹，會(huì )數學(xué)地思考和交流，會(huì )分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，因而例題教學(xué)要特別注重教材中缺少的幾種類(lèi)型題的教學(xué)。其中最為重要的是“開(kāi)放性題”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例題中，Ｚ不唯一）和“數學(xué)問(wèn)題解決”中所指出的“數學(xué)應用題”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主題是數學(xué)以外的內容）。對于“開(kāi)放性題”，由于它的結論不唯一，對培養學(xué)生數學(xué)思維有著(zhù)至關(guān)重要的作用。對于“數學(xué)應用題”，則由于它的解決要用數學(xué)模型法，因而對培養學(xué)生運用分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法是十分重要的。從數學(xué)學(xué)法指導的角度來(lái)說(shuō)，適度調整例題很有必要。調整的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點(diǎn)有關(guān)的“開(kāi)放性題”和“數學(xué)應用題”。

    5．注重對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點(diǎn)外，例題教學(xué)還具有傳授新知識，積累數學(xué)經(jīng)驗，完善數學(xué)認知結構