什么是分形幾何？

    1973年，曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設想。分形（Fractal）一詞，是曼德勃羅創(chuàng )造出來(lái)的，其愿意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門(mén)以非規則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。由于不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱(chēng)為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。

    分形幾何與傳統幾何相比有什么特點(diǎn)

    ⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸線(xiàn)和山川形狀，從遠距離觀(guān)察，其形狀是極不規則的。

    ⑵在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸線(xiàn)和山川形狀，從近距離觀(guān)察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來(lái)描述一般隨即現象的，還有一些是用來(lái)描述混沌和非線(xiàn)性系統的。

    什么是分維？

    在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線(xiàn)或曲線(xiàn)看成一維。也可以梢加推廣，認為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類(lèi)維數是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀(guān)事物的“非規則”程度，1919年，數學(xué)家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

    分維的概念我們可以從兩方面建立起來(lái)：一方面，我們首先畫(huà)一個(gè)線(xiàn)段、正方形和立方體，它們的邊長(cháng)都是1。將它們的邊長(cháng)二等分，此時(shí)，原圖的線(xiàn)度縮小為原來(lái)的1/2，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形。其線(xiàn)段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個(gè)相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等于與圖形相應的經(jīng)驗維數。一般說(shuō)來(lái)，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個(gè)圖形所組成，有：a^D=b, D=logb/loga的關(guān)系成立，則指數D稱(chēng)為相似性維數，D可以是整數，也可以是分數。另一方面，當我們畫(huà)一根直線(xiàn)，如果我們用0維的點(diǎn)來(lái)量它，其結果為無(wú)窮大，因為直線(xiàn)中包含無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來(lái)量它，其結果是0，因為直線(xiàn)中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來(lái)量它才會(huì )得到有限值哪？看來(lái)只有用與其同維數的小線(xiàn)段來(lái)量它才會(huì )得到有限值，而這里直線(xiàn)的維數為1（大于0、小于2）。與此類(lèi)似，如果我們畫(huà)一個(gè)Koch曲線(xiàn)，其整體是一條無(wú)限長(cháng)的線(xiàn)折疊而成，顯然，用小直線(xiàn)段量，其結果是無(wú)窮大，而用平面量，其結果是0（此曲線(xiàn)中不包含平面），那么只有找一個(gè)與Koch曲線(xiàn)維數相同的尺子量它才會(huì )得到有限值，而這個(gè)維數顯然大于1、小于2，那么只能是小數（即分數）了，所以存在分維。其實(shí)，Koch曲線(xiàn)的維數是1.2618……。

    Fractal（分形）一詞的由來(lái)

    據曼德勃羅教授自己說(shuō)，fractal一詞是1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動(dòng)詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無(wú)規碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來(lái)表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規則的、破碎的、分數的。曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類(lèi)復雜無(wú)規的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線(xiàn)、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花僚亂的滿(mǎn)天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規則或極不光滑。直觀(guān)而粗略地說(shuō)，這些對象都是分形。

    分形的定義

    曼德勃羅曾經(jīng)為分形下過(guò)兩個(gè)定義：
    （1）滿(mǎn)足下式條件: Dim(A)>dim(A) 的集合A，稱(chēng)為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數（或分維數），dim(A)為其拓撲維數。一般說(shuō)來(lái)，Dim(A)不是整數，而是分數。

    （2）部分與整體以某種形式相似的形，稱(chēng)為分形。

    然而，經(jīng)過(guò)理論和應用的檢驗，人們發(fā)現這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內容。實(shí)際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，正如生物學(xué)中對“生命”也沒(méi)有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。對分形的定義也可同樣的處理。

    （i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說(shuō)它具有精細的結構。
    （ii）分形集不能用傳統的幾何語(yǔ)言來(lái)描述，它既不是滿(mǎn)足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集。
    （iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
    （iv）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大于它相應的拓撲維數。
    （v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。