數學(xué)科普：常識性謬誤流傳令人憂(yōu)

　　2000年，曾被國際數學(xué)聯(lián)盟定為“世界數學(xué)年”，其主要宗旨在于“使數學(xué)及其對世界的意義被社會(huì )所了解，特別是被普通公眾所了解”.這就把數學(xué)普及工作放到了一個(gè)顯著(zhù)的位置上.然而，我國在這方面的工作似乎很難樂(lè )觀(guān).正如胡作玄老師在《數學(xué)上未解的難題》一書(shū)中指出的：“本來(lái)就相當荒蕪的數學(xué)科普領(lǐng)域，充斥著(zhù)許多東拼西湊的假冒偽劣產(chǎn)品，有的人在抄的方面都不負責任，其結果是錯誤百出，誤導讀者.”誠如胡老師所言！錯誤事實(shí)不斷誤用的現象在數學(xué)科普界確實(shí)普遍存在著(zhù).下面舉出幾個(gè)較為典型的例證.
　　
　　疏率、約率、密率、祖率
　　
　　中國南北朝時(shí)期的著(zhù)名數學(xué)家祖沖之曾得到與圓周率有關(guān)的兩項重要成果.其一，他算得圓周率介于3.1415926與3.1415927之間.其二，他用兩個(gè)分數22/7與355/113近似表示圓周率.與此相關(guān)的，出現了表示這幾個(gè)數值的稱(chēng)法，但隨之也出現了一些誤稱(chēng).舉幾例如下：
　　
　　胡作玄編著(zhù)的《數學(xué)上未解的難題》一書(shū)12頁(yè)：
　　
　　他（祖沖之）計算的π值介于疏率和密率之間，即：22/7＜π＜355/113
　　
　　可見(jiàn)，胡作玄先生是把22/7稱(chēng)作了疏率.
　　
　　任現淼編著(zhù)的《趣味數學(xué)365天》144頁(yè)：
　　
　　π的疏率22/7和密率355/113.密率又稱(chēng)祖率.
　　
　　楊世明與王雪芹著(zhù)《數學(xué)發(fā)現的藝術(shù)》一書(shū)144頁(yè)也把22/7稱(chēng)為疏率.
　　
　　但關(guān)于疏率的稱(chēng)法是錯誤的.對這一錯誤的來(lái)龍去脈梁宗巨《數學(xué)歷史典故》一書(shū)240頁(yè)有清楚地探討，茲引文如下：
　　
　　22/7明明寫(xiě)的是“約率”，但相當多的文章卻誤寫(xiě)成“疏率”，這可能出版一個(gè)偶然的印刷錯誤（或筆誤）.如章克標《算學(xué)的故事》（開(kāi)明書(shū)店，1935）P140正確地寫(xiě)成約率，但在P201上卻誤寫(xiě)成疏率.1951年2月10日《人民日報》3版發(fā)表華羅庚《數學(xué)是我國人民所擅長(cháng)的學(xué)科》……文中提到“（祖沖之）用22/7及355/113做疏率和密率”……后來(lái)大量的書(shū)刊沿用了“疏率”這個(gè)名稱(chēng).其實(shí)華羅庚在《從祖沖之的圓周率談起》（1962年6月）一書(shū)中早已將這種叫法改正過(guò)來(lái)，并把《隋書(shū)》的原文列在書(shū)前，又在密率和約率的下面加上重點(diǎn)，以引起注意.然而直到最近還有人墨守疏率這個(gè)不正確的名稱(chēng).
　　
　　梁宗巨的這一段話(huà)已經(jīng)把疏率問(wèn)題解釋得非常清楚了.
　　
　　但對于祖率問(wèn)題卻還存在一些疑問(wèn).
　　
　　在同一本書(shū)的241、242頁(yè)，梁宗巨先生探討了祖率問(wèn)題，并指出“祖率”應該是指祖沖之的密率.
　　
　　解恩澤、徐本順主編的《世界數學(xué)家思想方法》一書(shū)157頁(yè)：
　　
　　故日本數學(xué)大學(xué)家三上義夫在1912年提出應稱(chēng)π＝355/113為“祖率”.
　　
　　但沈康身《中算導論》387頁(yè)認為
　　
　　祖沖之“算學(xué)功績(jì)甚偉大，在劉宋之末，已于其《綴術(shù)》中記載圓周率算定之事，予在《中日算學(xué)發(fā)達史》言此率
　　
　　3.1415926＜π＜3.1415927
　　
　　稱(chēng)祖率為適當.”
　　
　　由此可見(jiàn)，“祖率”之稱(chēng)來(lái)自于日本數學(xué)史家三上義夫是確切無(wú)誤的.但究竟他所指的祖率是否等同于密率，所需要的是查看他的原文.可惜我手中沒(méi)有原始資料，無(wú)法對這一問(wèn)題做出結論.這種澄清有賴(lài)于手中有此材料的同志了.
　　
　　萊布尼茲、二進(jìn)制、《易經(jīng)》
　　
　　《中華讀書(shū)報》第338期曾有一專(zhuān)版用了一版的篇幅評一套叢書(shū)《中國人的智慧叢書(shū)》.但書(shū)評中卻出現了一些常識性的錯誤.如書(shū)評中有一段：
　　
　　“值得注意的是，外國人賴(lài)以建立的種種基本發(fā)明，大都源于中國，……就是現代計算機的二進(jìn)制，也來(lái)自于中國的八卦，因為八卦的陰陽(yáng)爻可以組成64種符號，而二進(jìn)制恰好對應于現代計算機的電路通斷.因為仰慕中國的古代文化，萊布尼茲把一臺計算機送給了康熙皇帝.”
　　
　　由于這一套叢書(shū)我沒(méi)有見(jiàn)到，所以不知上述說(shuō)法是書(shū)中存在的抑或是書(shū)評者自己的觀(guān)點(diǎn).但可以肯定的是，現代計算機的二進(jìn)制來(lái)自于中國的八卦，早已被證明是一個(gè)神話(huà).對這一錯誤，郭書(shū)春在《古代世界數學(xué)泰斗劉徽》一書(shū)461頁(yè)指出：
　　
　　國內有所謂《周易》創(chuàng )造了二進(jìn)制的說(shuō)法，至于萊布尼茲受《周易》八卦的影響創(chuàng )造二進(jìn)制并用于計算機的神話(huà)，更是廣為流傳.幾年前，這個(gè)神話(huà)還被人用來(lái)作為否定取消基礎理論科學(xué)研究的根據.事實(shí)是，萊布尼茲先發(fā)明了二進(jìn)制，后來(lái)才看到傳教士帶回的宋代學(xué)者重新編排的《周易》八卦，并發(fā)現八卦可以用他的二進(jìn)制來(lái)解釋.
　　
　　梁宗巨著(zhù)《數學(xué)歷史典故》一書(shū)14～18頁(yè)對這一歷史公案有更加詳盡考察，想進(jìn)一步了解者可參考.
　　
　　三環(huán)親和數鏈
　　
　　所謂親和數是指一對數，每一個(gè)數的所有真因子之和都恰等于另一個(gè)數.如220與284就是最早發(fā)現的一對親和數.后來(lái)，親和數又被推廣到親和數鏈.一個(gè)親和數鏈滿(mǎn)足：第一個(gè)數的所有真因子之和等于第二個(gè)數；第二個(gè)數的所有真因子之和等于第三個(gè)數，依此類(lèi)推，最后一個(gè)數的所有真因子之和等于第一個(gè)數.現在所發(fā)現的最大的親和數鏈有28個(gè)數組成，但是有沒(méi)有三環(huán)親和數鏈呢？
　　
　　賈慶祥《漫游自然數王國》一書(shū)17頁(yè)：
　　
　　不過(guò)，奇怪的是，至今還沒(méi)有發(fā)現三環(huán)親和數鏈.難道在自然數王國里不存在“劉、關(guān)、張桃園三結義”嗎？
　　
　　任現淼編著(zhù)的《趣味數學(xué)365天》87頁(yè)：
　　
　　恰好有三個(gè)“環(huán)”的親和數鏈稱(chēng)為“伙”（Crowd），目前尚未發(fā)現“伙”.
　　
　　在王志雄著(zhù)《數學(xué)美食城》一書(shū)695頁(yè)也指出：
　　
　　至今，我們還沒(méi)有發(fā)現親和3數圈.
　　
　　到底現在有沒(méi)有發(fā)現三環(huán)親和數鏈呢？
　　
　　英國人西蒙·辛格著(zhù)，薛密譯的《費馬大定理》一書(shū)第57頁(yè)給出了一個(gè)三元數組：1945330728960；2324196638720；2615631953920；書(shū)中指出這個(gè)三元數組中“第一個(gè)數的因數加起來(lái)等于第二個(gè)數，第二個(gè)數的因數加起來(lái)等于第三個(gè)數，而第三個(gè)數和因數加起來(lái)等于第一個(gè)數.”因而這三個(gè)數恰好構成了一個(gè)三環(huán)親和數鏈.
　　
　　順便指出一點(diǎn)，該書(shū)的這一頁(yè)中說(shuō)“1866年，60歲的意大利人尼科洛·帕格尼尼發(fā)現了這一對親和數1184和1210”.這里不知是譯者的錯誤，還是印刷的錯誤：60歲應為16歲.
　　
　　克萊因瓶問(wèn)題
　　
　　談祥柏先生作為數學(xué)科普名家，著(zhù)述很多.但在他的作品中，也存在著(zhù)某些疏漏之處.在他著(zhù)的《數學(xué)廣角鏡》一書(shū)115、118、119頁(yè)寫(xiě)道：
　　
　　事實(shí)上，德國數學(xué)家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學(xué)的大怪物克萊因瓶.……這種瓶子根本沒(méi)有內、外之分，無(wú)論從什么地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質(zhì)上就是一個(gè)“有外無(wú)內”的古怪東西.
　　
　　盡管現代玻璃工業(yè)已經(jīng)發(fā)展得非常先進(jìn)……但是，所謂的“克萊因瓶”，卻始終是大數學(xué)家克萊因先生腦子里頭的“虛構物”，根本制造不出來(lái).
　　
　　……許多國家的數學(xué)家老是想造它一個(gè)出來(lái)，作為獻給國際數學(xué)家大會(huì )的禮物.然而，等待他們的是一個(gè)失敗接著(zhù)一個(gè)失敗.
　　
　　……也有人認為，即使造不出玻璃制品，能造出一個(gè)紙模型也不錯呀.如果真的解決了這個(gè)問(wèn)題，那可是個(gè)大收獲��！
　　
　　但實(shí)際上，克萊因瓶已經(jīng)被人制造出來(lái)了.在郭凱聲等編著(zhù)的《數學(xué)游戲》（下）一書(shū)的“玻璃克萊因瓶”一文中有清楚的介紹.茲引錄部分如下：
　　
　　AlanBennett是英國貝德福德的一位玻璃吹制工.幾年前，他開(kāi)始對拓撲學(xué)中出現的各種神秘的形狀——墨比烏斯帶、克萊因瓶等等——發(fā)生興趣，并遇到了一個(gè)新奇的難題，數學(xué)家本會(huì )通過(guò)計算來(lái)嘗試解決這個(gè)難題，而B(niǎo)ennett則用玻璃解決了它.他做出的一系列引人注目的物品很快就將成為倫敦科學(xué)博物館中的一項永久性陳列品.（見(jiàn)書(shū)的第9頁(yè)）
　　
　　彩圖1示出了Bennett吹出的一個(gè)玻璃克萊因瓶.（見(jiàn)書(shū)的第10頁(yè)）
　　
　　在書(shū)174頁(yè)之后附的彩圖1給出了他用玻璃吹制出的只有一個(gè)面的表面的克萊因瓶，并且還有一些其它種類(lèi)的克萊因瓶.
　　
　　在吳文俊主編的《中國數學(xué)史大學(xué)》第一卷中曾專(zhuān)門(mén)分析了各種數學(xué)圖書(shū)中的錯誤出現以及流傳的原因.
　　
　　書(shū)中指出“引用的資料一定要可靠，要做到可靠必須親自過(guò)目每一項資料.不親自查閱所引用的資料，往往要出問(wèn)題，即使查閱了還要弄懂，引用時(shí)也不要斷章取義……還有更糟的研究者，他們只是想當然地下了結論，根本沒(méi)去找資料.例如前面提到的那個(gè)關(guān)于2500年前中國人驗證過(guò)當a＝2時(shí)費馬定理的逆定理的例子，是由于引申在西方造成了錯誤，長(cháng)期來(lái)互相引用，但是沒(méi)有人去核實(shí)資料，以致到不久前仍在著(zhù)作中出現.嚴敦杰早已指出了這個(gè)問(wèn)題以及造成錯誤的根源，大約是由于文字的關(guān)系，在西方?jīng)]有起到應有的作用.”
　　
　　最后這一段話(huà)還指出錯誤流傳的主要原因：許多寫(xiě)作者在引用別人的東西時(shí)，沒(méi)有去核實(shí)資料.這既有寫(xiě)作者態(tài)度不夠嚴謹的因素，也與相關(guān)的資料查找困難有關(guān).而信息不暢通也是一些錯誤得以繼續流傳的重要因素（胡作玄、談祥柏等寫(xiě)作態(tài)度嚴謹的作者的疏漏恐怕更多要歸因于后者吧）.而問(wèn)題的嚴重性更在于一些錯誤只要在一本科普書(shū)上出現，很快就能蔓延開(kāi)來(lái)，造成星火燎原之勢.尤其是當最初的錯誤出自于名家之手時(shí)，情況更是如此.如何能夠避免這種以訛傳訛的局面呢？一個(gè)念頭進(jìn)入我的心頭：憑貴刊的影響力，如果能開(kāi)辟一個(gè)小的版面，做《咬文嚼字》那樣的工作，或許會(huì )有助于情況的轉變吧！
　　
　　正是出于這一想法，有了這篇拋磚引玉之文.若能引起數學(xué)科普工作者的關(guān)注與討論，從而有益于上述情況的轉變，有益于數學(xué)科普事業(yè)的良性發(fā)展，那將是我真誠期望的.