幾道趣味算術(shù)題的分析

　　小學(xué)生學(xué)珠算時(shí)最常做的是自然數累加、三盤(pán)清、九盤(pán)清這三種基本練習。

　　其中自然數累加就是1+2+3+4+……+97+98+99+100，它的計算結果可用大家熟悉的等差數列求和公式（首項+尾項）×項數÷2來(lái)計算。從1加到100是5050，從中取任一段數的和都可用此公式算出來(lái)。

　　三盤(pán)清也叫見(jiàn)珠打珠，就是在算盤(pán)上先撥上123456789，然后從左向右每一檔看見(jiàn)原來(lái)是什么數就加上什么數，加第一遍后再從左向右加第二遍、第三遍，這樣加的結果是987654312，要是再在末尾加上9就成了987654321。

　　九盤(pán)清是在算盤(pán)上先撥123456789，然后一遍又一遍的加123456789，連加九遍后得出結果是1234567890。

　　本人從小腦子很靈但手指很笨，最怕上珠算課，上課時(shí)老師要我們練習累加，全班同學(xué)陸陸續續完成從1加到100后把手舉了起來(lái)，可我一個(gè)人還在56、57、58、……笨拙地撥拉著(zhù)算盤(pán)珠子，實(shí)在不好意思就偷偷的撥上5050后把手舉起。后來(lái)老師發(fā)現部分同學(xué)作弊就每天變化，今天要求從1加到73、明天要求從1加到84、……，讓大家不能預知最終計算結果。但這也難不到未到十歲的我，我通過(guò)自己的分析總結出用（第一個(gè)數+最后一個(gè)數）×數字個(gè)數÷2這個(gè)方法偷偷在紙上筆算出答案再撥到算盤(pán)上應付老師。上初中后學(xué)到數列才知道德國偉大的數學(xué)家高斯在十歲時(shí)也是用這種方法來(lái)計算從1加到100的，我為自己小時(shí)候有著(zhù)與著(zhù)名數學(xué)家一樣的思維方法而感到非常自豪。

　　對于三盤(pán)清和九盤(pán)清計算結果出現有規律的數字，我小時(shí)候也偷偷的作過(guò)分析研究，總結出為什么有規律的原因。

　　三盤(pán)清是見(jiàn)到什么數加什么數，實(shí)際上就是把原來(lái)的數乘以二，連續三次乘以二也就是乘以八，而123456789×8=123456789×（10-1-1）=1234567890-123456789-123456789，這樣從減法計算的豎式里可看出第一次減時(shí)被減數除個(gè)位數是0外，其它各位都是比減數大1，如果把三盤(pán)清計算后末尾加的9先加在被減數上，那么第一次減下來(lái)個(gè)位數是0，其它各位數全是1，第二次減就成了1111111110-123456789，這道減法的計算豎式里就有一個(gè)有趣的規律：個(gè)位數在減時(shí)被減數是0必須向十位借1變成10，而十位數在減時(shí)由于1被借走也是0就必須向百位數借1變成10，同樣百位數向千位數借，千位數向萬(wàn)位數借……計算的時(shí)候從個(gè)位開(kāi)始都是本位被減數是0，向上一位借1變成10，每一位都是10減去減數，對減數是123456789這樣依次遞增的數，最后的計算結果當然是987654321這樣依次遞減的數了。

　　九盤(pán)清的分析就相對要簡(jiǎn)單得多，一個(gè)數連續加上九次實(shí)際上就是十個(gè)這個(gè)數的和，那么十個(gè)123456789的和當然是1234567890了。

　　上世紀八十年代社會(huì )上流傳著(zhù)我國臺灣省一位小學(xué)生在玩電子計算器時(shí)無(wú)意中發(fā)現的有趣現象：在計算器里打上12345679八位數再乘以9就會(huì )得出111111111這樣九個(gè)1，要是乘以3就會(huì )得出037037037，乘以6就會(huì )得出174174174，……乘以18就會(huì )得出222222222……只要在81以?xún)�，乘�?的倍數就會(huì )出現三位數一個(gè)循環(huán)的現象，乘以9的倍數就會(huì )出現連續九個(gè)一樣的數而且乘數是9的幾倍就是連續的九個(gè)幾。一時(shí)全世界很多人都拿計算器去試這個(gè)規律，但都是只知其然，不知其所以然。那時(shí)寧波有位好奇的記者請寧波一中當時(shí)的校長(cháng)、全國著(zhù)名的中學(xué)數學(xué)特級教師陳守禮老師在《寧波日報》上寫(xiě)文章分析這一有趣現象產(chǎn)生的原因，但陳老師的分析很復雜，大家都難以看懂。我看了后馬上用小時(shí)候分析三盤(pán)清的方法一分析，發(fā)現這個(gè)計算器現象其實(shí)比三盤(pán)清的分析還要簡(jiǎn)單。我就把自己的分析寄給陳老師，可他大概沒(méi)收到也就沒(méi)給回音�，F在我把這個(gè)分析寫(xiě)出來(lái)與廣大數學(xué)愛(ài)好者分享。12345679×9=12345679×（10-1）=123456790-12345679，從這個(gè)減法計算的豎式里可看出：前面幾位全都是被減數比減數大一，沒(méi)有8十位數9比7大二，但個(gè)位數是0不夠減向十位數借1，所以十位數也變成了被減數比減數大一，個(gè)位被減數借到1后變成10也比減數大一，所以乘以9的結果出現了111111111這樣連續九個(gè)1的現象，乘以9結果每位數都是1，再乘以幾倍（只要在九倍以?xún)龋┊斎皇敲课粩刀际菐琢恕，F在再來(lái)分析乘以3后出現的現象，12345679×3=12345679×9÷3=111111111÷3，從能被3整除的數的規律中可看到連續三位數上的三個(gè)1加起來(lái)等于3能被3整除，就可把連續九個(gè)1分成三個(gè)1一段，這樣每一段中的111都能被3整除，結果就成了三位數一個(gè)循環(huán)的現象，當乘數是81時(shí)，這三位循環(huán)數是999達最大，再大就要進(jìn)上第四位改變了上一個(gè)循環(huán)的數值，所以只要乘數在81以?xún)龋?2345679乘以3的倍數結果就成三位數一循環(huán)的三個(gè)循環(huán)，乘以9的倍數就成了九個(gè)一樣的數。