構建數學(xué)模型解決物理問(wèn)題

構建數學(xué)模型解決物理問(wèn)題
物理學(xué)是應用數學(xué)思想與方法最充分、最成功的一門(mén)科學(xué)�？梢赃@樣說(shuō)，離開(kāi)了數學(xué)思想與方法，就沒(méi)有真正意義上的物理學(xué)。但是，在相當多的學(xué)生中，存在著(zhù)將學(xué)習數學(xué)和學(xué)習物理兩者截然分開(kāi)的現象:他們學(xué)習了一定的數學(xué)思想與方法，并能解決一些比較復雜的數學(xué)問(wèn)題;但是在需要運用這些數學(xué)思想與方法來(lái)解決物理問(wèn)題時(shí)，卻表現出滯后和吃力�；�于此，筆者經(jīng)過(guò)對高中物理中應用數學(xué)思想與方法的多年研究，認為構建數學(xué)模型，應用數學(xué)方法，注重數學(xué)的解與物理的解的統一是解決物理問(wèn)題的有效途徑。
　　
　　1注重數學(xué)模型、數學(xué)方法教學(xué)的必要性
　　
　　2006年《普通高等學(xué)校招生全國統一考試大綱(理綜物理)》對應用數學(xué)處理物理問(wèn)題的能力的要求是:能夠根據具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導和求解，并根據結果得出物理結論;必要時(shí)能運用幾何圖形、函數圖像進(jìn)行表達、分析�？梢�(jiàn)數學(xué)是解決物理問(wèn)題一個(gè)不可缺少的工具。
　　
　　2構建數學(xué)模型的基本途徑
　　
　　所謂數學(xué)模型，就是用符號、字母和數字等數學(xué)語(yǔ)言表示的，反映問(wèn)題中各要素之間數量關(guān)系的數學(xué)表達式。構建數學(xué)模型(即數學(xué)建模)解決物理問(wèn)題，就是用數學(xué)語(yǔ)言形式表達所研究的物理問(wèn)題的特征及有關(guān)量之間的關(guān)系，然后應用數學(xué)方法尋求問(wèn)題答案。它是解決物理問(wèn)題的一種方法，一般要經(jīng)過(guò)以下兩步:
　　
　　2.1物理問(wèn)題向物理模型的轉化
　　
　　實(shí)際的物理問(wèn)題往往錯綜復雜，影響問(wèn)題的因素很多，但在諸多的因素中，總有些因素占主導的位置，而另一些因素處于次要的位置。在眾多因素中突出主要因素和主要關(guān)系，進(jìn)行科學(xué)抽象，把復雜的研究對象簡(jiǎn)化，即構建物理模型。如研究地球公轉，求日地間距等，就可以忽略地球的自轉以及地球、太陽(yáng)的線(xiàn)度，將地球、太陽(yáng)都抽象為質(zhì)點(diǎn)。這樣，地球繞日運動(dòng)就可以抽象為一質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下繞另一質(zhì)點(diǎn)的運動(dòng)。
　　
　　2.2物理模型向數學(xué)模型的轉化
　　
　　建立物理模型后，分析與主要因素有關(guān)的基本物理量中，哪些是常量，哪些是變量;哪些是矢量，哪些是標量;哪些是過(guò)程量，哪些是狀態(tài)量;哪些是已知量，哪些是待求量。再根據物理規律找出各物理量之間的關(guān)系式，抽象出研究對象的數學(xué)模型。如上例中，地球繞太陽(yáng)運動(dòng)，若太陽(yáng)的質(zhì)量M、地球的運動(dòng)周期T是已知量，地球到太陽(yáng)的間距r為待求量，而G是常量。根據日地間的

       
　　
　　3數學(xué)方法的具體運用
　　
　　數學(xué)模型建立起來(lái)后，就要應用數學(xué)方法來(lái)求解。高中物理學(xué)中的數學(xué)方法，是指運用數學(xué)工具分析及闡明物理理論、解決物理問(wèn)題的方法。常見(jiàn)的數學(xué)方法有:三角函數法、圖象求解法、數學(xué)比例法、指數對數法、幾何圖形法、數學(xué)極值法、數列極限法、導數微元法等。在這里僅例舉三角函數法、數列極限法加以說(shuō)明。
　　
　　例1質(zhì)量為m的物體放在地面上，它們間的滑動(dòng)摩擦系數為μ，用力F斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線(xiàn)運動(dòng)，求力與水平方向的夾角α為多大時(shí)最省力。

       
　　
　　析與解由于物體在水平面上做勻速直線(xiàn)運動(dòng)，隨著(zhù)α角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動(dòng)摩擦力也不一樣。而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等。以物體為研究對象，受力分析如圖1所示。因為物體處于平衡狀態(tài)，

       
　　
　　例2一彈性小球自4.9m高處自由下落，它與地面每相碰一次后，速度就減少為碰前的7/9，試求小球從開(kāi)始下落到停止運動(dòng)所用的時(shí)間。

       
　　
　　4數學(xué)的解與物理的解的統一
　　
　　從實(shí)際問(wèn)題提煉出數學(xué)模型后，必須根據問(wèn)題的目標和條件，尋找切實(shí)可行的數學(xué)方法，求出數學(xué)的解。但獲得了數學(xué)的解，并不意味著(zhù)解題工作的終結，還應將它還原成物理的解，這種還原工作主要包括以下兩個(gè)方面:
　　
　　4.1解釋數學(xué)解的物理意義，并結合實(shí)際對數學(xué)解作出取舍
　　
　　對數學(xué)的解應該充分挖掘其內含的物理意義，并給予解釋?zhuān)�以便自身得到認同和接受。如在運動(dòng)學(xué)問(wèn)題中求得的速度為負值，說(shuō)明所求得的速度方向與原規定正方向相反。通過(guò)數學(xué)方程解得數學(xué)的解，有時(shí)往往不止一個(gè)，這些數學(xué)的解，有可能都具有物理意義，也可能并不是都具有物理意義，并不能全部都能在現實(shí)中客觀(guān)存在，或并不具有同等的地位和價(jià)值。這時(shí)，就需要結合物理實(shí)際進(jìn)行討論，舍去不符合實(shí)際的解。
　　
　　4.2根據數學(xué)的解對解題過(guò)程作必要的修正
　　
　　如果由建立的數學(xué)模型，應用數學(xué)方法解出的數學(xué)的解都不符合物理實(shí)際意義，并不能只是簡(jiǎn)單下個(gè)無(wú)解的結論，而是應該對原數學(xué)模型作仔細的分析與反思，找到其潛在的問(wèn)題，并對原數學(xué)模型進(jìn)行修正。
　　
　　例3在平直公路上以20m/s勻速行駛的汽車(chē)，剎車(chē)后獲得8m/s2大小的加速度，問(wèn)經(jīng)過(guò)5秒鐘，汽車(chē)發(fā)生的位移是多少?
　　
　　錯解根據勻變速直線(xiàn)運動(dòng)的位移公式

       
　　
　　由此可見(jiàn)，求得數學(xué)的解后，再從物理的角度進(jìn)行討論分析，把數學(xué)的解還原成符合實(shí)際的物理的解這一過(guò)程，是十分重要的，這也是解題過(guò)程中最容易疏漏的地方。
　　
　　在物理教學(xué)過(guò)程中對學(xué)生進(jìn)行數學(xué)建模思想和數學(xué)方法應用的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì )到物理并非只是一門(mén)以實(shí)驗為基礎的自然科學(xué)，而且還可以使學(xué)生感覺(jué)到利用數學(xué)的思想和方法能很好的解決一些物理實(shí)際問(wèn)題。