曹沖稱(chēng)象與七橋問(wèn)題

　　傳說(shuō)，在公元前287年，敘拉古王國的國王打了勝仗，為了慶祝勝利，他決定獻給神一頂金子做的王冠。他找來(lái)一位珠寶商，給了他一些金子讓他制造一頂王冠。王冠制作得很漂亮，重量也跟原來(lái)國王給的黃金一樣重。但是國王還是懷疑珠寶商盜竊了一部分黃金，而在王冠中摻進(jìn)了同等重量的白銀。他請阿基米德鑒定王冠是不是純金的，但不許拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天，都不得要領(lǐng)。一天，他跨入盛滿(mǎn)水的浴缸洗澡，看到水向外溢，頓時(shí)豁然開(kāi)朗，興奮地喊：“我找到檢驗王冠的方法了”。

　　阿基米德由此發(fā)現了浮力定理，從而解決了王冠的檢驗問(wèn)題。

　　在我國古代，也流傳一個(gè)利用浮力原理的“曹沖稱(chēng)象”的故事。曹操的兒子曹沖小時(shí)候非常聰明。一天，有人送給曹操一只大象，曹操很高興，想知道這個(gè)龐然大物究竟有多重。但是到哪里去找這樣大的秤呢？魏國的謀臣武士們絞盡腦汁，也想不出一個(gè)辦法。小小的曹沖卻想出了一個(gè)妙法：他教人把大象牽到一只大木船上，刻下木船的吃水深度；然后把大象牽下船而向船上裝進(jìn)一些石塊，讓木船吃水深度與原來(lái)的刻度一致時(shí)即停止繼續裝石塊。根據浮力原理，大象的重量和船上石塊的重量相等，而分散的石塊是可以用普通的秤稱(chēng)出其重量的。“曹沖稱(chēng)象”成為千古美談。

　　“曹沖稱(chēng)象”的思想不僅僅是利用了物理學(xué)中的浮力原理，也利用了數學(xué)中一個(gè)極為普遍的思想：轉化思想。即把有待解決的問(wèn)題，通過(guò)適當的方法，轉化為已經(jīng)解決或已經(jīng)知道其解決方法的問(wèn)題。

　　從某種意義上講，數學(xué)證明或數學(xué)計算中的每一步都是一種轉化，轉化思想是數學(xué)中最基本、最重要的一種思想�？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)。轉化能力的高低是衡量一個(gè)人數學(xué)水平的重要標志之一。

　　匈牙利數學(xué)家羅莎曾經(jīng)對此作過(guò)一個(gè)有趣的比喻：

　　假如在你面前有煤氣灶、水壺、水籠頭和火柴，現在要燒一壺開(kāi)水，你應該怎樣做？

　　回答很簡(jiǎn)單，誰(shuí)都知道應該怎樣做。在水壺中加滿(mǎn)水；點(diǎn)燃煤氣；把水壺放到煤氣灶上。

　　接著(zhù)羅莎再提出問(wèn)題：現在所有的條件都和原來(lái)一樣，只是水壺中已灌滿(mǎn)了水，這時(shí)你又應該怎樣做？對于這一問(wèn)題人們通常的回答往往是：那就只要點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上就可以了。但羅莎指出，這不是最好的回答，因為只有物理學(xué)家才會(huì )這樣做，而數學(xué)家則會(huì )倒去壺中的水，因為他已經(jīng)把后一問(wèn)題轉化為前一個(gè)問(wèn)題了，而前一問(wèn)題是已經(jīng)解決了的。

　　羅莎的比喻也許過(guò)于夸張，但它的確表明了數學(xué)思想方法的一個(gè)特點(diǎn)，善于使用轉化的方法。

　　在18世紀，東普魯士哥尼斯堡（今屬立陶宛共和國）內有一條大河，河中有兩個(gè)小島。全城被大河分割成四塊陸地。河上架有七座橋，把四塊陸地像圖1那樣聯(lián)系起來(lái)。當時(shí)許多市民都在思索如下的問(wèn)題：一個(gè)散步者能否從某一陸地出發(fā)，不重復地經(jīng)過(guò)每座橋一次，最后回到原來(lái)的出發(fā)地。

　　這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題。

　　這個(gè)問(wèn)題似乎不難解決，所以吸引了許多人都想來(lái)試試看，但是日復一日誰(shuí)也沒(méi)有得出確定的答案。于是有人便寫(xiě)信給當時(shí)著(zhù)名的數學(xué)家歐拉（Euler，1707～1783）求教。歐拉畢竟是數學(xué)家，他并沒(méi)有去重復人們已多次失敗了的試驗，而是首先產(chǎn)生了一種直覺(jué)的猜想：許多人千百次的失敗，也許意味著(zhù)這樣的走法根本就不存在。于是歐拉把七橋問(wèn)題進(jìn)行了數學(xué)的抽象。用A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)表示四塊陸地，用兩點(diǎn)間的一條線(xiàn)表示聯(lián)接兩塊陸地之間的一座橋，就得到如圖2那樣一個(gè)由四個(gè)點(diǎn)和七條線(xiàn)組成的圖形。

　　于是，七橋問(wèn)題就轉化為一個(gè)象圖2那樣的圖形是否可以“一筆畫(huà)”的問(wèn)題。什么叫“一筆畫(huà)”呢？那就是筆不準離開(kāi)紙，一氣畫(huà)成整個(gè)圖形，但每一條線(xiàn)只許畫(huà)一次，不得重復。像圖2這樣的圖形能不能一筆畫(huà)呢？1736年歐拉證明了：答案是否定的。

　　為什么呢？

　　因為除了起點(diǎn)和終點(diǎn)之外，我們把其余的點(diǎn)稱(chēng)為中間點(diǎn)。如果一個(gè)圖可以一筆畫(huà)的話(huà)，對于每一個(gè)中間點(diǎn)來(lái)說(shuō)，當畫(huà)筆沿某條線(xiàn)到達這一點(diǎn)時(shí)，必定要沿另一條線(xiàn)離開(kāi)這點(diǎn)，并且進(jìn)入這點(diǎn)幾次，就要離開(kāi)這點(diǎn)幾次，一進(jìn)一出，兩兩配對，所以從這點(diǎn)發(fā)出的線(xiàn)必然要是偶數條。因此，一個(gè)圖形能否一筆畫(huà)就有了一個(gè)判別準則：

　　一個(gè)可以一筆畫(huà)的圖形最多只能有兩個(gè)點(diǎn)（起點(diǎn)和終點(diǎn)）與奇數條線(xiàn)相連。

　　再看圖2中的四個(gè)點(diǎn)都是與奇數條（三條或五條）線(xiàn)相連的，根據這一判別準則，是不能一筆畫(huà)的。

　　從而證明了七橋問(wèn)題所要求的走法是不存在的。

　　曾經(jīng)難倒許多人的七橋問(wèn)題，經(jīng)過(guò)歐拉這一轉化，就像哥倫布豎雞蛋一樣，簡(jiǎn)單而圓滿(mǎn)地解決了。