希爾伯特的兩個(gè)小故事

　　德國數學(xué)家大衛·希爾伯特（1862～1943）是20世紀最偉大的數學(xué)家之一。他對數學(xué)的貢獻是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數不變式，代數數域，幾何基礎，變分法，積分方程，無(wú)窮維空間，物理學(xué)和數學(xué)基礎等。他在1899年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了“數學(xué)公理化學(xué)派”，可以說(shuō)希爾伯特是近代形式公理學(xué)派的創(chuàng )始人。1900年希爾伯特38歲時(shí)在巴黎舉行的第二屆國際數學(xué)家大會(huì )上作了題為《數學(xué)問(wèn)題》的著(zhù)名講演。在講演中，他根據19世紀數學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢，以卓越的遠見(jiàn)和非凡的洞察力，提出了新世紀所面臨的23個(gè)問(wèn)題。這23個(gè)問(wèn)題涉及現代數學(xué)的大部分重要領(lǐng)域（著(zhù)名的哥德巴赫猜想就是第8個(gè)問(wèn)題中的一部分），對這些問(wèn)題的研究有力地推動(dòng)了20世紀各個(gè)數學(xué)分支的發(fā)展。

　　本文介紹關(guān)于希爾伯特青年時(shí)代的兩個(gè)小故事。

　　一、老師在課堂上現想現推

　　1880年秋天，18歲的希爾伯特進(jìn)人家鄉的哥尼斯堡大學(xué)，他不顧當法官的父親希望他學(xué)習法律的愿望，毫不猶豫地進(jìn)了哲學(xué)系學(xué)習數學(xué)（當時(shí)的大學(xué)，數學(xué)還設在哲學(xué)系內）。希爾伯特發(fā)現當時(shí)的大學(xué)生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使許多年輕人把大學(xué)第一年的寶貴時(shí)光都花費在學(xué)生互助會(huì )的傳統活動(dòng)飲酒和斗劍上，然而對希爾伯特來(lái)說(shuō)，大學(xué)生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數學(xué)了。

　　大學(xué)的第一學(xué)期，希爾伯特選學(xué)了積分學(xué)，矩陣論和曲面的曲率論三門(mén)課。根據規定。第二學(xué)期可以轉到另一所大學(xué)聽(tīng)課，希爾伯特選擇了海德?tīng)柋ご髮W(xué)，這是當時(shí)德國所有大學(xué)中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學(xué)校。希爾伯特在海德?tīng)柋ご髮W(xué)選聽(tīng)拉撒路·富克斯的課。富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線(xiàn)性微分方程幾乎成了同義語(yǔ)。他講課確實(shí)與眾不同，給人的印象很深。課前他不大做準備，對要講的內容，在課堂上現想現推。于是常常發(fā)生這樣的情形，某個(gè)問(wèn)題在黑板上推不下去了，這時(shí)他就再想另外一種方法，有時(shí)一連要換好幾種方法，但他最后總能推導出結果來(lái)。他就是這樣，習慣于在課堂上把自己置于危險的境地。這樣的課學(xué)生們如何看呢？他的一位學(xué)生后來(lái)回憶時(shí)寫(xiě)道：這樣的課，使學(xué)生們“得到一個(gè)機會(huì )，瞧一瞧最高超的數學(xué)思維的實(shí)際過(guò)程。”我們可以想象，善于思考和學(xué)習的希爾伯特肯定會(huì )從中領(lǐng)悟到一個(gè)數學(xué)家是如何思考問(wèn)題的，這種包括幾經(jīng)碰壁終于找到解法的探索過(guò)程在教科書(shū)上無(wú)論如何是看不到的。把思考問(wèn)題的實(shí)際過(guò)程展現給學(xué)生看，這樣做實(shí)際上是非常富于啟發(fā)性的。我國著(zhù)名的數學(xué)方法論專(zhuān)家徐利治教授認為這一點(diǎn)對希爾伯特的成長(cháng)肯定起過(guò)很好的作用。我想這一點(diǎn)對我們今天也很有啟發(fā)。學(xué)習數學(xué)不僅要學(xué)會(huì )這道題的解法，而且更要學(xué)會(huì )這個(gè)解法是如何找到的。即學(xué)會(huì )思考。

　　二、蘋(píng)果樹(shù)下的例行出步

　　希爾伯特在海德?tīng)柋ど狭艘粚W(xué)期以后，接下來(lái)的一個(gè)學(xué)期，本來(lái)可以允許他再轉到柏林去聽(tīng)課，但他深深地依戀自己的家鄉，于是他又回到了哥尼斯堡大學(xué)。再下一個(gè)學(xué)期──1882年春天，希爾伯特仍決定留在哥尼斯堡。

　　這時(shí)赫爾曼·閱可夫斯基從柏林學(xué)習了三個(gè)學(xué)期后也回到了哥尼斯堡大學(xué)。閩可夫斯基從小就數學(xué)才能出眾，據說(shuō)有一次上數學(xué)課，老師因把問(wèn)題理解錯了而“掛了黑板”，同學(xué)們異口同聲叫道：“閉可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學(xué)時(shí)，他因為出色的數學(xué)工作曾得到過(guò)一筆獎金。這時(shí)，年僅17歲的閱可夫斯基正沉浸在一項很深奧的研究之中──解巴黎科學(xué)院出榜征解的一個(gè)問(wèn)題：把一個(gè)數表成五個(gè)平方數的和。一年后，1883年春天，18歲的閱可夫斯基和英國著(zhù)名的數學(xué)家史密斯共享巴黎科學(xué)院的這項大獎。這件事轟動(dòng)了整個(gè)哥尼斯堡。希爾伯特的父親因此曾告

　　誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友。但由于對數學(xué)的熱愛(ài)和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友。

　　1884年春天，年輕的數學(xué)家阿道夫·赫維茨從哥廷根來(lái)到哥尼斯堡擔任副教授，年齡還不到25歲，在函數論方面已有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系。他們這三個(gè)年輕人每天下午準5點(diǎn)必定相會(huì )去蘋(píng)果樹(shù)下散步。希爾伯特后來(lái)回憶道：“日復一日的散步中，我們全都埋頭討論當前數學(xué)的實(shí)際問(wèn)題；相互交換我們對問(wèn)題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃。”在他們三人中，赫維茨有著(zhù)廣泛“堅實(shí)的基礎知識，又經(jīng)過(guò)很好的整理，”所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。當時(shí)希爾伯特發(fā)現，這種學(xué)習方法比鉆在昏暗的教室或圖書(shū)館里啃書(shū)本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續了整整八年半之久。以這種最悠然而有趣的學(xué)習方式，他們探索了數學(xué)的“每一個(gè)角落”，考察著(zhù)數學(xué)世界的每一個(gè)王國，希爾伯特后來(lái)回憶道：“那時(shí)從沒(méi)有想到我們竟會(huì )把自己帶到那么遠！”三個(gè)人就這樣“結成了終身的友誼。”

　　正如徐利治教授所指出的，良師益友間的互相切磋討論對希爾伯特的成長(cháng)發(fā)展也起了十分重要的作用，可以想見(jiàn)那段時(shí)間是希爾伯特才、學(xué)、識獲得迅速成長(cháng)的重要階段，假如沒(méi)有這段經(jīng)歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領(lǐng)域中一次提出那么多著(zhù)名難題，倒是不易想象的了。

　　有關(guān)希爾伯特散步的這個(gè)小故事告訴我們，師生除了在課堂上的活動(dòng)以外，師生在課外的交流以及同學(xué)間的課外交流，也是一種重要的學(xué)習方式，對數學(xué)學(xué)習非常有益。而且，在散步中交流因為沒(méi)有書(shū)本，也不用紙和筆，因此沒(méi)有繁瑣的推導和計算，只能交談那些能用話(huà)“說(shuō)出來(lái)”的東西，即對問(wèn)題的理解，分析總是中的思想和方法，挖掘統帥形式推導的靈魂，......而這些對學(xué)好數學(xué)非常重要。同學(xué)們不妨經(jīng)常邀幾位要好的同學(xué)一起散步交談，肯定會(huì )其樂(lè )無(wú)究的。