最早的數學(xué)——算術(shù)

　　算術(shù)是數學(xué)中最古老、最基礎和最初等的部分。它研究數的性質(zhì)及其運算。

　　“算術(shù)”這個(gè)詞，在我國古代是全部數學(xué)的統稱(chēng)。至于幾何、代數等許多數學(xué)分支學(xué)科的名稱(chēng)，都是后來(lái)很晚的時(shí)候才有的。

　　國外系統地整理前人數學(xué)知識的書(shū)，要算是希臘的歐幾里得的《幾何原本》最早�！稁缀卧�本》全書(shū)共十五卷，后兩卷時(shí)候人增補的。全書(shū)大部分是屬于幾何知識，在第七、八、九卷中專(zhuān)門(mén)討論了數的性質(zhì)和運算，屬于算術(shù)的內容。

　　現在拉丁文的“算術(shù)”這個(gè)詞是由希臘文的“數和數(音屬，sh?三音)數的技術(shù)”變化而來(lái)的。“算”字在中國的古意也是“數”的意思，表示計算用的竹籌。中國古代的復雜數字計算都要用算籌。所以“算術(shù)”包含當時(shí)的全部數學(xué)知識與計算技能，流傳下來(lái)的最古老的《九章算術(shù)》以及失傳的許商《算術(shù)》和杜忠《算術(shù)》，就是討論各種實(shí)際的數學(xué)問(wèn)題的求解方法。

　　關(guān)于算數的產(chǎn)生，還是要從數談起。數是用來(lái)表達、討論數量問(wèn)題的，有不同類(lèi)型的量，也就隨著(zhù)產(chǎn)生了各種不同類(lèi)型的數。遠在古代發(fā)展的最初階段，由于人類(lèi)日常生活與生產(chǎn)實(shí)踐中的需要，在文化發(fā)展的最初階段就產(chǎn)生了最簡(jiǎn)單的自然數的概念。

　　自然數的一個(gè)特點(diǎn)就是由不可分割的個(gè)體組成。比如說(shuō)樹(shù)和羊這兩種事物，如果說(shuō)兩棵樹(shù)，就是一棵再一顆；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能說(shuō)有半棵樹(shù)或者半只羊，半棵樹(shù)或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作樹(shù)和羊。

　　不過(guò)，自然數不足以解決生活和生產(chǎn)中常見(jiàn)的分份問(wèn)題，因此數的概念產(chǎn)生了第一次擴張。分數是對另一種類(lèi)型的量的分割而產(chǎn)生的。比如，長(cháng)度就是一種可以無(wú)限地分割的量，要表示這些量，就只有用分數。

　　從已有的文獻可知，人類(lèi)認識自然數和分數的歷史是很久的。比如約公元前2000年流傳下來(lái)的古埃及萊茵德紙草書(shū)，就記載有關(guān)于分數的計算方法；中國殷代遺留下來(lái)的甲骨文中也有很多自然數，最大的數字是三萬(wàn)，并且全部是應用十進(jìn)位制的位置計數法。

　　自然數和分數具有不同的性質(zhì)，數和數之間也有不同的關(guān)系，為了計算這些數,就產(chǎn)生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四則運算。

　　把數和數的性質(zhì)、數和數之間的四則運算在應用過(guò)程中的經(jīng)驗累積起來(lái)，并加以整理，就形成了最古老的一門(mén)數學(xué)──算術(shù)。

　　在算術(shù)的發(fā)展過(guò)程中，由于實(shí)踐和理論上的要求，提出了許多新問(wèn)題，在解決這些新問(wèn)題的過(guò)程中，古算術(shù)從兩個(gè)方面得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

　　一方面在研究自然數四則運算中，發(fā)現只有除法比較復雜，有的能除盡，有的除不盡，有的數可以分解，有的數不能分解，有些數又大于1的公約數，有些數沒(méi)有大于1的公約數。為了尋求這些數的規律，從而發(fā)展成為專(zhuān)門(mén)研究數的性質(zhì)、脫離了古算術(shù)而獨立的一個(gè)數學(xué)分支，叫做整數論，或叫做初等數論，并在以后又有新的發(fā)展。

　　另一方面，在古算術(shù)中討論各種類(lèi)型的應用問(wèn)題，以及對這些問(wèn)題的各種解法。在長(cháng)期的研究中，很自然地就會(huì )啟發(fā)人們尋求解這些應用問(wèn)題的一般方法。也就是說(shuō)，能不能找到一般的更為普遍適用的方法來(lái)解決同樣類(lèi)型的應用問(wèn)題，于是發(fā)明了抽象的數學(xué)符號，從而發(fā)展成為數學(xué)的另一個(gè)古老的分支，指就是初等代數。

　　數學(xué)發(fā)展到現在，算術(shù)已不再是數學(xué)的一個(gè)分支，現在我們通常提到的算術(shù)，只是作為小學(xué)里的一個(gè)教學(xué)科目，目的是使學(xué)生理解和掌握有關(guān)數量關(guān)系和空間形式的最基礎的知識，能夠正確、迅速地進(jìn)行整數、小數、分數的四則運算，初步了解現代數學(xué)中的一些最簡(jiǎn)單的思想，具有初步的邏輯思維能力和空間觀(guān)念。

　　現代小學(xué)數學(xué)的具體內容，基本上還是古代算術(shù)的知識，也就是說(shuō)，古代算術(shù)和現代算術(shù)的許多內容上是相同的。不過(guò)現代算術(shù)和古代算術(shù)也還存在著(zhù)區別。

　　首先，算術(shù)的內容是古代的成人包括數學(xué)家所研究的對象，現在這些內容已變成了少年兒童的數學(xué)。其次，在現代小學(xué)數學(xué)里，總結了長(cháng)期以來(lái)所歸結出來(lái)的基本運算性質(zhì)，即加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律。這五條基本運算定律，不僅是小學(xué)數學(xué)里所學(xué)習的數運算的重要性質(zhì)，也是整個(gè)數學(xué)里，特別是代數學(xué)里著(zhù)重研究的主要性質(zhì)。

　　第三，在現代的小學(xué)數學(xué)里，還孕育著(zhù)近代數學(xué)里的集合和函數等數學(xué)基礎概念的思想。比如，和、差、積、商的變化，數和數之間的對應關(guān)系，以及比和比例等。

　　另外，現在小學(xué)數學(xué)里，還包含有十六世紀才出現的十進(jìn)小數和它們的四則運算。應當提出的是十進(jìn)小數不是一種新的數，而可以被看作是一種分母是10的方冪的分數的另一種寫(xiě)法。

　　我們在這里把算術(shù)列成第一個(gè)分支，主要是想強調在古代全部數學(xué)就叫做算術(shù)，現代的代數學(xué)、數論等最初就是由算術(shù)發(fā)展起來(lái)的。后來(lái)，算學(xué)、數學(xué)的概念出現了，它代替了算術(shù)的含義，包括了全部數學(xué)，算術(shù)就變成了一個(gè)分支了。因此，也可以說(shuō)算術(shù)是最古老的分支。