數學(xué)的三大核心領(lǐng)域之分支學(xué)科的歷史發(fā)展

數學(xué)的三大核心領(lǐng)域之分支學(xué)科的歷史發(fā)展

　　數學(xué)發(fā)展到現在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個(gè)主要分支學(xué)科的龐大的“共和國”。大體說(shuō)來(lái)，數學(xué)中研究數的部分屬于代數學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數且涉及極限運算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類(lèi)數學(xué)構成了整個(gè)數學(xué)的本體與核心。在這一核心的周?chē)�，由于數學(xué)通過(guò)數與形這兩個(gè)概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現了許多邊緣學(xué)科和交*學(xué)科。本章簡(jiǎn)要介紹數學(xué)三大核心領(lǐng)域中十幾門(mén)主要分支學(xué)科的有關(guān)歷史發(fā)展情況。

　　1、算術(shù)

　　算術(shù)有兩種含義，一種是從中國傳下來(lái)的，相當于一般所說(shuō)的“數學(xué)”，如《九章算術(shù)》等。另一種是從歐洲數學(xué)翻譯過(guò)來(lái)的，源自希臘語(yǔ)，有“計算技術(shù)”之意�，F在一般所說(shuō)的“算術(shù)”，往往指自然數的四則運算；如果是在高等數學(xué)中，則有“數論”的含義。作為現代小學(xué)課程內容的算術(shù)，主要講的是自然數、正分數以及它們的四則運算，并通過(guò)由計數和度量而引起的一些最簡(jiǎn)單的應用題加以鞏固。

　　算術(shù)是數學(xué)中最古老的一個(gè)分支，它的一些結論是在長(cháng)達數千年的時(shí)間里，緩慢而逐漸地建立起來(lái)的。它們反映了在許多世紀中積累起來(lái)，并不斷凝固在人們意識中的經(jīng)驗。

　　自然數是在對于對象的有限集合進(jìn)行計算的過(guò)程中，產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計算單個(gè)的對象，還要計算各種量，例如長(cháng)度、重量和時(shí)間。為了滿(mǎn)足這些簡(jiǎn)單的量度需要，就要用到分數。

　　現代初等算術(shù)運算方法的發(fā)展，起源于印度，時(shí)間可能在10世紀或11世紀。它后來(lái)被阿拉伯人采用，之后傳到西歐。15世紀，它被改造成現在的形式。在印度算術(shù)的后面，明顯地存在著(zhù)我國古代的影響。

　　19世紀中葉，格拉斯曼第一次成功地挑選出一個(gè)基本公理體系，來(lái)定義加法與乘法運算；而算術(shù)的其它命題，可以作為邏輯的結果，從這一體系中被推導出來(lái)。后來(lái)，皮亞諾進(jìn)一步完善了格拉斯曼的體系。

　　算術(shù)的基本概念和邏輯推論法則，以人類(lèi)的實(shí)踐活動(dòng)為基礎，深刻地反映了世界的客觀(guān)規律性。盡管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開(kāi)它。同時(shí)，它又構成了數學(xué)其它分支的最堅實(shí)的基礎。

　　2、初等代數

　　作為中學(xué)數學(xué)課程主要內容的初等代數，其中心內容是方程理論。代數一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數方程理論在初等代數中是由一元一次方程向兩個(gè)方面擴展的：其一是增加未知數的個(gè)數，考察由有幾個(gè)未知數的若干個(gè)方程所構成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數，考察一元二次方程或準二次方程。初等代數的主要內容在16世紀便已基本上發(fā)展完備了。

　　古巴比倫(公元前19世紀～前17世紀)解決了一次和二次方程問(wèn)題，歐幾里得的《原本》(公元前4世紀)中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術(shù)》(公元1世紀)中有三次方程和一次聯(lián)立方程組的解法，并運用了負數。3世紀的丟番圖用有理數求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現的天元術(shù)(李冶《測圓海鏡》)是有關(guān)一元高次方程的數值解法。16世紀意大利數學(xué)家發(fā)現了三次和四次方程的解法。

　　代數學(xué)符號發(fā)展的歷史，可分為三個(gè)階段。第一個(gè)階段為三世紀之前，對問(wèn)題的解不用縮寫(xiě)和符號，而是寫(xiě)成一篇論文，稱(chēng)為文字敘述代數。第二個(gè)階段為三世紀至16世紀，對某些較常出現的量和運算采用了縮寫(xiě)的方法，稱(chēng)為簡(jiǎn)化代數。三世紀的丟番圖的杰出貢獻之一，就是把希臘代數學(xué)簡(jiǎn)化，開(kāi)創(chuàng )了簡(jiǎn)化代數。然而此后文字敘述代數，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀。第三個(gè)階段為16世紀以后，對問(wèn)題的解多半表現為由符號組成的數學(xué)速記，這些符號與所表現的內容沒(méi)有什么明顯的聯(lián)系，稱(chēng)為符號代數。16世紀韋達的名著(zhù)《分析方法入門(mén)》，對符號代數的發(fā)展有不少貢獻。16世紀末，維葉特開(kāi)創(chuàng )符號代數，經(jīng)笛卡爾改進(jìn)后成為現代的形式。

　　“＋”、“－”號第一次在數學(xué)書(shū)中出現，是1489年魏德曼的著(zhù)作。不過(guò)正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從1514年由荷伊克開(kāi)始的。1540年，雷科德開(kāi)始使用現在使用“＝”。到1591年，韋達在著(zhù)作中大量使用后，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特創(chuàng )用大于號“＞”和小于號“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，并引進(jìn)用字母表中頭前的字母表示已知數、后面的字母表示未知數的習慣做法。至于“≮”、“≯”、“≠”這三個(gè)符號的出現，那是近代的事了。

　　數的概念的拓廣，在歷史上并不全是由解代數方程所引起的，但習慣上仍把它放在初等代數里，以求與這門(mén)課程的安排相一致。公元前4世紀，古希臘人發(fā)現無(wú)理數。公元前2世紀(西漢時(shí)期)，我國開(kāi)始應用負數。1545年，意大利的卡爾達諾開(kāi)始使用虛數。1614年，英國的耐普爾發(fā)明對數。17世紀末，一般的實(shí)數指數概念才逐步形成。

　　3、高等代數

　　在高等代數中，一次方程組（即線(xiàn)性方程組）發(fā)展成為線(xiàn)性代數理論；而—、二次方程發(fā)展成為多項式理論。前者是向量空間、線(xiàn)性變換、型論、不變量論和張量代數等內容的一門(mén)近世代數分支學(xué)科，而后者是研究只含有一個(gè)未知量的任意次方程的一門(mén)近世代數分支學(xué)科。作為大學(xué)課程的高等代數，只研究它們的基礎。

　　1683年關(guān)孝和(日本人)最早引入行列式概念。關(guān)于行列式理論最系統的論述，則是雅可比1841年的《論行列式的形成與性質(zhì)》一書(shū)。在邏輯上，矩陣的概念先于行列式的概念；而在歷史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發(fā)表了關(guān)于這個(gè)課題的第一篇重要文章《矩陣論的研究報告》。

　　19世紀，行列式和矩陣受到人們極大的關(guān)注，出現了千余篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章。但是，它們在數學(xué)上并不是大的改革，而是速記的一種表達式。不過(guò)已經(jīng)證明它們是高度有用的工具。

　　多項式代數的研究始于對3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解決了被簡(jiǎn)化為缺2次項的3次方程的求解問(wèn)題。1540年，費爾拉里成功地發(fā)現了一般4次方程的代數解法。人們繼續尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中付諸東流。

　　1746年，達朗貝爾首先給出了“代數學(xué)基本定理”的證明(有不完善之處)。這個(gè)定理斷言：每一個(gè)實(shí)系數或復系數的n次代數方程，至少有一個(gè)實(shí)根或復根。因此，一般地說(shuō)，n次代數方程應當有n個(gè)根。1799年，22歲的高斯在寫(xiě)博士論文中，給出了這個(gè)定理的第一個(gè)嚴格的證明。1824年，22歲的阿貝爾證明了：高于4次的一般方程的全部系數組成的根式，不可能是它的根。1828年，年僅17歲的伽羅華創(chuàng )立了“伽羅華理論”，包含了方程能用根號解出的充分必要條件。

　　4、數論

　　以正整數作為研究對象的數論，可以看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運算的觀(guān)點(diǎn)，而是以數的結構的觀(guān)點(diǎn)，即一個(gè)數可用性質(zhì)較簡(jiǎn)單的其它數來(lái)表達的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究數的。因此可以說(shuō)，數論是研究由整數按一定形式構成的數系的科學(xué)。

　　早在公元前3世紀，歐幾里得的《原本》討論了整數的一些性質(zhì)。他證明素數的個(gè)數是無(wú)窮的，他還給出了求兩個(gè)數的公約數的輾轉相除法。這與我國《九章算術(shù)》中的“更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大于給定的自然數N的全部素數的“篩法”：在寫(xiě)出從1到N的全部整數的紙草上，依次挖去2、3、5、7……的倍數(各自的2倍，3倍，……)以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數了。

　　當兩個(gè)整數之差能被正整數m除盡時(shí)，便稱(chēng)這兩個(gè)數對于“模”m同余。我國《孫子算經(jīng)》(公元4世紀)中計算一次同余式組的“求一術(shù)”，有“中國剩余定理”之稱(chēng)。13世紀，秦九韶已建立了比較完整的同余式理論——“大衍求一術(shù)”，這是數論研究的內容之一。

　　丟番圖的《算術(shù)》中給出了求x?＋y?＝z?所有整數解的方法。費爾馬指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3時(shí)無(wú)整數解，對于該問(wèn)題的研究產(chǎn)生了19世紀的數論。之后高斯的《數論研究》(1801年)形成了系統的數論。

　　數論的古典內容基本上不借助于其它數學(xué)分支的方法，稱(chēng)為初等數論。17世紀中葉以后，曾受數論影響而發(fā)展起來(lái)的代數、幾何、分析、概率等數學(xué)分支，又反過(guò)來(lái)促進(jìn)了數論的發(fā)展，出現了代數數論(研究整系數多項式的根—“代數數”)、幾何數論(研究直線(xiàn)坐標系中坐標均為整數的全部“整點(diǎn)”—“空間格網(wǎng)”)。19世紀后半期出現了解析數論，用分析方法研究素數的分布。二十世紀出現了完備的數論理論。

　　5、抽象代數

　　1843年，哈密頓發(fā)明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的幾類(lèi)代數。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開(kāi)了抽象代數(也叫近世代數)的大門(mén)。實(shí)際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定(與其余假定是相容的)，就能研究出許多種代數體系。

　　1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開(kāi)始使用“體”的說(shuō)法，并研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開(kāi)了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創(chuàng )立了環(huán)論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究，開(kāi)創(chuàng )了抽象代數學(xué)。

　　1926年，諾特完成了理想(數)理論；1930年，畢爾霍夫建立格論，它源于1847年的布爾代數；第二次世界大戰后，出現了各種代數系統的理論和布爾巴基學(xué)派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛(ài)倫伯克建立了同調代數理論。

　　到現在為止，數學(xué)家們已經(jīng)研究過(guò)200多種這樣的代數結構，其中最主要德若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬于20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學(xué)中得到了充分的反映。

　　抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學(xué)學(xué)科。典型的代數系統有群、環(huán)、域等，它們主要起源于19世紀的群論，包含有群論、環(huán)論、伽羅華理論、格論、線(xiàn)性代數等許多分支，并與數學(xué)其它分支相結合產(chǎn)生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學(xué)學(xué)科。抽象代數已經(jīng)成了當代大部分數學(xué)的通用語(yǔ)言。

　　現在，可以籠統地把代數學(xué)解釋為關(guān)于字母計算的學(xué)說(shuō)，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數中，字母表示數；而在高等代數和抽象代數中，字母則表示向量(或n元有序數組)、矩陣、張量、旋量、超復數等各種形式的量�？梢哉f(shuō)，代數已經(jīng)發(fā)展成為一門(mén)關(guān)于形式運算的一般學(xué)說(shuō)了。