高考數學(xué)復習：如何提高學(xué)生解題思維能力
2011-09-20 10:19:16新浪博客
縱觀(guān)近幾年高考數學(xué)試題，可以看出高考數學(xué)試題加強了對知識點(diǎn)靈活應用的考察。這就對考生的思維能力要求大大加強。如何才能提升思維能力，很多考生便依靠題海戰術(shù)，寄希望多做題來(lái)應對多變的考題，然而憑借題海戰術(shù)的功底仍然難以獲得科學(xué)的思維方式，以至收效甚微。最主要的原因就是“解題思路隨意”造成的，并非所謂“不夠用功”等原因。由于思維能力的原因，考生在解答高考題時(shí)形成一定的障礙。主要表現在兩個(gè)方面，一是無(wú)法找到解題的切入點(diǎn)，二是雖然找到解題的突破口，但做著(zhù)做著(zhù)就走不下去了。如何解決這兩大障礙呢？
第一，從求解（證）入手——尋找解題途徑的基本方法
遇到有一定難度的考題我們會(huì )發(fā)現出題者設置了種種障礙。從已知出發(fā)，岔路眾多，順推下去越做越復雜，難得到答案，如果從問(wèn)題入手，尋找要想獲得所求，必須要做什么，找到“需知”后，將“需知”作為新的問(wèn)題，直到與“已知“所能獲得的“可知”相溝通，將問(wèn)題解決。事實(shí)上，在不等式證明中采用的“分析法”就是這種思維的充分體現，我們將這種思維稱(chēng)為“逆向思維”——必要性思維。
第二，數學(xué)式子變形——完成解題過(guò)程的關(guān)鍵
解答高考數學(xué)試題遇到的第二障礙就是數學(xué)式子變形。一道數學(xué)綜合題，要想完成從已知到結論的過(guò)程，必須經(jīng)過(guò)大量的數學(xué)式子變形，而這些變形僅靠大量的做題過(guò)程是無(wú)法真正完全掌握的，很多考生都有這樣的經(jīng)歷，在解一道復雜的考題時(shí)，做不下去了，而回過(guò)頭來(lái)再看一看答案，才恍然大悟，解法這么簡(jiǎn)單，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到?jīng)]有把式子再這么變一下呢?
其實(shí)數學(xué)解題的每一步推理和運算，實(shí)質(zhì)都是轉換（變形）.但是，轉換（變形）的目的是更好更快的解題，所以變形的方向必定是化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，化未知為已知，也就是創(chuàng )造條件向有利于解題的方向轉化.還必須注意的是，一切轉換必須是等價(jià)的，否則解答將出現錯誤。解決數學(xué)問(wèn)題實(shí)際上就是在題目的已知條件和待求結論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎上，化歸和消除這些差異。尋找差異是變形依賴(lài)的原則，變形中一些規律性的東西需要總結。在后面的幾章中我們列舉的一些思維定勢，就是在數學(xué)思想指導下總結出來(lái)的。在解答高考題中時(shí)刻都在進(jìn)行數學(xué)變形由復雜到簡(jiǎn)單，這也就是轉化，數學(xué)式子變形的思維方式：時(shí)刻關(guān)注所求與已知的差異。
第三、回歸課本---夯實(shí)基礎。
1）揭示規律----掌握解題方法
高考試題再難也逃不了課本揭示的思維方法及規律。我們說(shuō)回歸課本，不是簡(jiǎn)單的梳理知識點(diǎn)。課本中定理，公式推證的過(guò)程就蘊含著(zhù)重要的方法，而很多考生沒(méi)有充分暴露思維過(guò)程，沒(méi)有發(fā)覺(jué)其內在思維的規律就去解題，而希望通過(guò)題海戰術(shù)去“悟”出某些道理，結果是題海沒(méi)少泡，卻總也不見(jiàn)成效，最終只能留在理解的膚淺，僅會(huì )機械的模仿，思維水平低的地方。因此我們要側重基本概念，基本理論的剖析，達到以不變應萬(wàn)變。
2）構建網(wǎng)絡(luò )----融會(huì )貫通
在課本函數這章里，有很多重要結論，許多學(xué)生由于理解不深入，只靠死記硬背,最后造成記憶不牢，考試時(shí)失分。
例如：若f(x+a)=f(b-x)則f(x)關(guān)于對稱(chēng)。如何理解？我們令x1=a+x,x2=b-x,則f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b,=常數，即兩自變量之和是定值，它們對應的函數值相等，這樣就理解了對稱(chēng)的本質(zhì)。結合解析幾何中的中點(diǎn)坐標的橫坐標為定值，或用特殊函數，二次函數的圖像，記憶這個(gè)結論就很簡(jiǎn)單了，只要x1+x2=a+b,=常數f(x1)=f(x2)，它可以寫(xiě)成許多形式如f(x)=f(a+b-x).同樣關(guān)于點(diǎn)對稱(chēng)，則f(x1)+f(x2)=b,x1+x2=a（中點(diǎn)坐標橫縱座標都為定值），關(guān)于（a/2,b/2）對稱(chēng)，再如若f(x)=f(2a-x),f(x)=(2b-x),則f(x)的周期為T(mén)=2|a-b||如何理解記憶這個(gè)結論，我們類(lèi)比三角函數f(x)=sinx從正弦函數圖形中我們可知x=/2,x=3/2為兩個(gè)對稱(chēng)軸，2|3/2-/2|=2，而得周期為，這樣我們就很容易記住這一結論，即使在考場(chǎng)上，思維斷路，只要把圖一畫(huà)，就可寫(xiě)出這一結論。這就是抽象到具體與數形結合的思想的體現。思想提煉總結在復習過(guò)程中起著(zhù)關(guān)鍵作用。類(lèi)似的結論f(x)關(guān)于點(diǎn)A(a,0)及B（b,0）對稱(chēng)則f（x）周期T=2|b-a|,若ｆ（ｘ）關(guān)于Ａ（ａ，０）及ｘ＝ｂ對稱(chēng)，則f（x）周期T=４|b-a|,
這樣我們就在函數這章做到由厚到薄，無(wú)需死記什么內容了，同時(shí)我們還要學(xué)會(huì )這些結論的逆用。例：兩對稱(chēng)軸x=a,x=b當b=2a(b>a)則為偶函數.同樣以對稱(chēng)點(diǎn)B(B,0),對稱(chēng)軸X=a,b=2a是為奇函數.
3）加強理解----提升能力
復習要真正的回到重視基礎的軌道上來(lái)。沒(méi)有基礎談不到不到能力。這里的基礎不是指機械重復的訓練，而是指要搞清基本原理，基本方法，體驗知識形成過(guò)程以及對知識本質(zhì)意義的理解與感悟。只有深刻理解概念，才能抓住問(wèn)題本質(zhì)，構建知識網(wǎng)絡(luò )。
4）思維模式化----解題步驟固定化
解答數學(xué)試題有一定的規律可循，解題操作要有明確的思路和目標，要做到思維模式化。所謂模式化也就是解題步驟固定化，一般思維過(guò)程分為以下步驟：
A、審題
審題的關(guān)鍵是，首先弄清要求（證）的是什么？已知條件是什么？結論是什么？條件的表達方式是否能轉換（數形轉換，符號與圖形的轉換，文字表達轉為數學(xué)表達等），所給圖形和式子有什么特點(diǎn)？能否用一個(gè)圖形（幾何的、函數的或示意的）或數學(xué)式子（對文字題）將問(wèn)題表達出來(lái)？有什么隱含條件？由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論，必須做什么?需要知道哪些條件（需知）？
B、明確解題目標．關(guān)注已知與所求的差距，進(jìn)行數學(xué)式子變形（轉化），在需知與可知間架橋（缺什么補什么）
1）能否將題中復雜的式子化簡(jiǎn)？
2）能否對條件進(jìn)行劃分，將大問(wèn)題化為幾個(gè)小問(wèn)題？
3）能否進(jìn)行變量替換（換元）、恒等變換，將問(wèn)題的形式變得較為明顯一些？
4）能否代數式子幾何變換（數形結合）？利用幾何方法來(lái)解代數問(wèn)題？或利用代數（解析）方法來(lái)解幾何問(wèn)題？數學(xué)語(yǔ)言能否轉換？（向量表達轉為解幾表達等）
5）最終目的：將未知轉化為已知。
C、求解要求解答清楚，簡(jiǎn)潔，正確，推理嚴密，運算準確，不跳步驟；表達規范，步驟完整
分析思維和解題思維，可歸納總結為：目標分析，條件分析，差異分析，結構分析，逆向思維，減元，直觀(guān)，特殊轉化，主元轉化，換元轉化
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