高一數學(xué)教案：《函數的單調性》教學(xué)設計
來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )整理 2018-11-25 19:14:03
高一數學(xué)教案：《函數的單調性》教學(xué)設計
一、本節內容在教材中的地位與作用：
《函數的單調性》系人教版高中數學(xué)必修一的內容，該內容包括函數的單調性的定義與判斷及其證明。在初中學(xué)習函數時(shí)，借助圖像的直觀(guān)性研究了一些函數的增減性．這節內容是初中有關(guān)內容的深化、延伸和提高．這節通過(guò)對具體函數圖像的歸納和抽象，概括出函數在某個(gè)區間上是增函數或減函數的準確含義，明確指出函數的增減性是相對于某個(gè)區間來(lái)說(shuō)的．教材中判斷函數的增減性，既有從圖像上進(jìn)行觀(guān)察的直觀(guān)方法，又有根據其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統一起來(lái)，形成根據觀(guān)察圖像得出猜想結論，進(jìn)而用推理證明猜想的體系．函數的單調性是函數眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數的單調性一節中的知識是前一節內容函數的概念和圖像知識的延續，它和后面的函數奇偶性，合稱(chēng)為函數的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是今后研究指數函數、對數函數、冪函數及其他函數單調性的理論基礎；在解決函數值域、定義域、不等式、比較兩數大小等具體問(wèn)題中均需用到函數的單調性；同時(shí)在這一節中利用函數圖象來(lái)研究函數性質(zhì)的數形結合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數學(xué)教學(xué)。
二、學(xué)情、教法分析：
按現行新教材結構體系，學(xué)生只學(xué)過(guò)一次函數、二次函數、反比例函數，所以對函數的單調性研究也只能限于這幾種函數。依據現有認知結構，學(xué)生只能根據函數的圖象觀(guān)察出“隨著(zhù)自變量的增大，函數值增大”的變化趨勢，而不能用符號語(yǔ)言進(jìn)行嚴密的代數證明，只能依據形的直觀(guān)性進(jìn)行感性判斷而不能進(jìn)行“思辯”的理性認識。所以在教學(xué)中要找準學(xué)生學(xué)習思維的“最近發(fā)展區”進(jìn)行有意義的建構教學(xué)。在教學(xué)過(guò)程中，要注意學(xué)生第一次接觸代數形式的證明，為使學(xué)生能迅速掌握代數證明的格式，要注意讓學(xué)生在內容上緊扣定義貫穿整個(gè)學(xué)習過(guò)程，在形式上要從有意識的模仿逐漸過(guò)渡到獨立的證明。
三、教學(xué)目標與教學(xué)重、難點(diǎn)的制定：
依據課程標準的具體要求以及基于教材內容的具體分析，制定本節課的教學(xué)目標為：
1.通過(guò)函數單調性的學(xué)習，讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng)，體會(huì )數學(xué)概念的形成過(guò)程的真諦，學(xué)會(huì )運用函數圖像理解和研究函數的性質(zhì)。
2.理解并掌握函數的單調性及其幾何意義，掌握用定義證明函數的單調性的步驟，會(huì )求函數的單調區間，提高應用知識解決問(wèn)題的能力。
3.能夠用函數的性質(zhì)解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受到學(xué)習單調性的必要性與重要性，增強學(xué)生學(xué)習函數的緊迫感，激發(fā)其積極性。
在本節課的教學(xué)中以函數的單調性的概念為線(xiàn)，它始終貫穿于教師的整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程和學(xué)生的學(xué)習過(guò)程；利用函數的單調性的定義證明簡(jiǎn)單函數的單調性是對函數單調性概念的深層理解，且“取值、作差與變形、判斷、結論”過(guò)程學(xué)生不易掌握。所以對教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)確定如下：
教學(xué)重點(diǎn)：函數的單調性的判斷與證明；
教學(xué)難點(diǎn)：增、減函數形式化定義的形成及利用函數單調性的定義證明簡(jiǎn)單函數的單調性。
四、教材內容簡(jiǎn)析：
本節主要內容如下：
(1)單調性的相關(guān)定義：一般地，設函數的定義域為I，區間AI：如果對于區間A內的任意兩個(gè)值，當時(shí)都有，那么就說(shuō)在區間A上是增加（減少）的。此時(shí)，A是單調遞增（遞減）區間。
注：關(guān)鍵詞：“區間AI：”、“任意”、“都”。區間AI表明判斷函數單調性首先判斷函數的定義域，“任意”表明不可以用兩個(gè)特定的值來(lái)確定函數是增函數還是減函數，但是可以用來(lái)否定函數是增函數或者否定函數是減函數，“都”表示單調區間中的每一個(gè)值無(wú)一例外。
如果函數在定義域的某個(gè)子集上是增加或減少的，那么就稱(chēng)這個(gè)函數在這個(gè)子集上具有單調性。如果函數在定義域是增加或減少的，那么就分別稱(chēng)這個(gè)函數為增函數或減函數，統稱(chēng)為單調函數。
(2)單調性的判斷與證明：
�、賳握{性的判斷：圖像法、定義法；（注：兩個(gè)單調區間的“并”不一定是單調區間。）
�、趩握{性的證明步驟歸結為五個(gè)步驟：取值、作差與變形、判斷、結論。
五、教學(xué)過(guò)程設計：
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教學(xué) 環(huán)節 |
教學(xué)時(shí)間 |
教學(xué)目的 |
教學(xué)呈現 |
設計意圖 |
教學(xué)方法 |
說(shuō)明 |
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新 授 課 |
7 分 鐘
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了解單調函數、單調區間的概念
能運用函數單調性的概念結合圖象判斷函數的單調性并寫(xiě)出單調區間
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2.單調函數、單調區間
[教師口述]：函數是單調增函數或是單調減函數，是對定義域內某個(gè)區間而言的。如果函數
如果函數
問(wèn)題3：（如圖）定義在區間
的函數
說(shuō)出
每一單調區間上，
增函數還是單調減函數。(移動(dòng)鼠標
到圖像上觀(guān)察會(huì )出現單調區間)
|
介紹相關(guān)概念，使學(xué)生進(jìn)一步理解單調性的概念。
使學(xué)生進(jìn)一步熟悉函數的單調性與函數的圖象間的關(guān)系,會(huì )從函數圖象上初步判斷函數的單調性；并培養學(xué)生運用數學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行正確表達的能力。
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談
話(huà)
法 |
題目及圖形的給出用課件演示。
注：
對函數的單調減區間學(xué)生易錯寫(xiě)成
的形式，要特別加以澄清，并舉反例加以說(shuō)明
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教學(xué)
環(huán)節 |
教學(xué)時(shí)間 |
教學(xué)目的 |
教學(xué)呈現 |
設計意圖 |
教學(xué)方法 |
說(shuō)明 |
|
新 授 課
|
12 分 鐘 |
能運用函數的單調性定義進(jìn)行證明函數在某一區間上的單調性
能靈活運用概念證題 |
3.函數單調性的判斷與證明
我們來(lái)看例題:
例1：說(shuō)出函數
解析：畫(huà)出圖形，并通過(guò)圖形讓學(xué)生自己講出過(guò)程。
板書(shū)：詳細過(guò)程。
教師過(guò)渡語(yǔ)言：
要了解函數某一區間是否具有單調性，從圖象上進(jìn)行觀(guān)察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴格地說(shuō)，它需要根據函數單調性的定義進(jìn)行證明。我們來(lái)看一個(gè)例題：
例2：畫(huà)出
單調性，并加以證明。
解析：畫(huà)出圖形，讓學(xué)生歸納。
下面利用定義證明：（略）
思考交流:請同學(xué)們試想，根據函數單調的定義證明已知函數的單調性的關(guān)鍵在于什么？
師生共同歸納用定義法證明函數單調的一般步驟：
（1）取值：設
（2）作差與變形：作差
（3）判斷：確定
（4）結論。
接下來(lái)，我們再來(lái)看一個(gè)例題：
例3：判斷
性，并加以證明。
分析:先畫(huà)圖，利用圖像來(lái)判斷，再利用定義來(lái)證明單調性。（讓學(xué)生自己動(dòng)手）
變式訓練：將本題中的定義域改為(0，+ ∞),你能否給出解答嗎？ |
滲透用圖象法來(lái)判斷函數的單調性思想方法
提出問(wèn)題、創(chuàng )設情境，培養學(xué)生積極思考、快速把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)的良好思維品質(zhì)。
加深學(xué)生對函數單調性定義的理解，規范解題格式
培養學(xué)生歸納總結的能力
培養學(xué)生自己動(dòng)手的能力
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談
話(huà)
法
講
授
法
討
論
法 |
例1的圖用課件演示 上升下降。
注：1.請學(xué)生說(shuō)
出：將例1中分子上的1改為k時(shí)的單調區間。
2.通過(guò)以上的分析， 能否說(shuō)例1中的函數 在定義域 內是減少的？
在講授完，用課件展示過(guò)程。
注：例題中的注意點(diǎn)：
①解題格式
②防止循環(huán)論證
③作差同“0”比較
總結：利用圖象法判斷函數的單調性，利用定義法證明(步驟：取值，作差與變形，判斷，結論)。
在講授完，用課件展示過(guò)程。
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教學(xué)
環(huán)節 |
教學(xué)時(shí)間 |
教學(xué)目的 |
教學(xué)呈現 |
設計意圖 |
教學(xué)方法 |
說(shuō)明 |
|
課 堂 練 習
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7 分 鐘 |
進(jìn)一步鞏固函數單調性的概念及證明函數單調性的方法 |
練習：
1.定義在R上的函數 成立，則必有 （ ）
A. 函數
B. 函數
C.
D.
2.設函數
數，求a的范圍。
3.函數
在
數，則
A.-1 B.7 C.3 D.
4.求證：函數 |
及時(shí)反饋，檢查知識的落實(shí)情況 |
練
習
法 |
結果在課件上展示出來(lái) |
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課 后 小 結 |
2 分 鐘 |
強調教學(xué)目標突出教學(xué)重點(diǎn) |
本節課重點(diǎn)要理解函數單調性及相關(guān)概念，掌握 函數單調性的判斷(圖象法)與證明(定義法)的方法與 步驟（取值，作差與變形，判斷，結論）；通過(guò)學(xué)習,增強數形結合的意識與能力，學(xué)會(huì )從感性到理性，從具體到抽象的研究問(wèn)題的方法。 |
使學(xué)生在頭腦中的知識結構得到提煉、幫助掌握重點(diǎn)內容 |
談
話(huà)
法 |
讓學(xué)生來(lái)小結、回顧 |
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布 置 作 業(yè)
|
1 分 鐘 |
課后進(jìn)一步掌握、鞏固概念方法
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課本習題2-3 A組：2，4，5
課后思考：
函數 |
培養學(xué)生獨立解決問(wèn)題的能力 |
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課后思考要求較 高作為選做題 |
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教學(xué) 后記
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本課是讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察函數圖象的基礎上，從特殊到一般的方法歸納出 函數單調性的定義及有關(guān)概念，通過(guò)例題歸納出證明函數單調性的方法、 步驟及注意點(diǎn)。這篇教學(xué)設計完整，思路清晰．案例首先通過(guò)實(shí)例闡述了 函數單調性產(chǎn)生的背景，歸納、抽象概括出了增函數、減函數的定義， 充分體現了數學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，符合新課程標準的 精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．練習的設計有新意，有深度， 為學(xué)生數學(xué)思維能力、創(chuàng )造能力的培養提供了平臺．它的特點(diǎn)體現在如 下幾個(gè)方面：
1.強調對基本概念和基本思想的理解和掌握
由于數學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現基本概念的來(lái)龍去脈．在數學(xué)中要引導 學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數學(xué)概念的過(guò)程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì)．
2.注重聯(lián)系，提高對數學(xué)整體的認識
數學(xué)的發(fā)展既有內在的動(dòng)力，也有外在的動(dòng)力．在高中數學(xué)的教學(xué)中， 要注重數學(xué)的不同分支和不同內容之間的聯(lián)系，數學(xué)與日常生活的聯(lián)系， 數學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系．
3、注重數學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應用意識和能力
在數學(xué)教學(xué)中，應注重發(fā)展學(xué)生的應用意識；通過(guò)豐富的實(shí)例引入數學(xué)知識， 引導學(xué)生應用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)歷探索、解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì )數 學(xué)的應用價(jià)值，幫助學(xué)生認識到：數學(xué)與我有關(guān)，與實(shí)際生活有關(guān)；數學(xué)是 有用的，我要用數學(xué)，我能用數學(xué)．
但是，在真正教學(xué)中也出現了一些問(wèn)題：
1.時(shí)間的控制上難以把握；2.學(xué)生的單調性的證明過(guò)程寫(xiě)的不夠完美。 |
|||||
六、板書(shū)設計：
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函數的單調性
1、 函數單調性定義：
2、 單調函數、單調區間：
3、 函數單調性的判斷與證明方法： |
例1：說(shuō)出函數 |
例2：畫(huà)出
單調性，并加以證明。
例3：判斷
的單調性，并加以證明。
練習答案：…… |
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教學(xué)
環(huán)節 |
教學(xué)時(shí)間 |
教學(xué)目的 |
教學(xué)呈現 |
設計意圖 |
教學(xué)
方法 |
說(shuō)明 |
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導入 新課
|
1 分 鐘
|
利用生活中的實(shí)例引出課 題 |
教師引言：
日常生活中，我們有過(guò)這樣的體驗：從階梯教室前向后走，逐步上升，從階梯教室后向前走，逐步下降,上下樓梯也是一樣。
（而后將其引申到函數中圖像的上升與下降，接著(zhù)板書(shū)課題：函數的單調性） |
明確學(xué)習內容且向學(xué)生滲透研究函數問(wèn)題的一般方法。 |
講
授
法 |
用課件演示
|
|
新 授 課
|
15分 鐘
|
對函數的單調性有感性的認識 |
1.函數的單調性
問(wèn)題1：在2003年抗擊非典型性肺炎時(shí)，衛
生部門(mén)對疫情進(jìn)行了通報，下圖(課件中)是
北京市從4月21日至5月19日期間每日新
增病例的變化統計圖。從圖看出，形勢從何
日開(kāi)始好轉？
問(wèn)題2：一次函數y=kx+b中，當k>0時(shí)，y
的值隨x的值的增大而 ；當k<0
時(shí)，y的值隨x的值的增大而 。
思考交流：對于下圖(課件中)給出的函數值y隨自變量x值的變化情況嗎？(移動(dòng)鼠標到圖像上觀(guān)察會(huì )出現y隨x值的變化情況)
給出實(shí)例: 用鼠標拖動(dòng)紅點(diǎn)左右移動(dòng)，你會(huì )發(fā)現圖像中點(diǎn)的坐標有何變化嗎？你能找出其中的規律嗎？怎樣用數學(xué)語(yǔ)言表達函數值的增減變化嗎？ |
考察學(xué)生的觀(guān)察能力，培養學(xué)生的數學(xué)表達能力讓學(xué)生自己分析。 |
演
示
法 |
用課件演示
對函數圖象的增、減情況用幾何畫(huà)板演示，增加直觀(guān)性、提高學(xué)生興趣
用課件演示
|
|
理解增、減函數的定義 |
從上推廣到一般情況，給出一般圖形，要求轉化成符號語(yǔ)言,此時(shí)提出“單調增函數、單調減函數”兩名詞；讓學(xué)生自己總結單調增、減函數的具體定義。
板書(shū)：
一般地，設函數
那么就說(shuō)
思考交流：你認為增、減函數定義中的關(guān)鍵
詞是什么？ |
讓學(xué)生自己去領(lǐng)悟、思考、概念。
強化教學(xué)重點(diǎn)，加強對知識的記憶
把握概念的本質(zhì) |
演
示
法與
談
話(huà)
法
講
授
法 |
讓學(xué)生口述
教師板書(shū)
關(guān)鍵詞：“任意”
、“都”。
|
I
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