高中數學(xué)重要知識點(diǎn)排列組合公式

　　高中數學(xué)重要知識點(diǎn)：排列組合公式

　　排列組合公式/排列組合計算公式

　　排列P------和順序有關(guān)

　　組合C-------不牽涉到順序的問(wèn)題

　　排列分順序，組合不分

　　例如把5本不同的書(shū)分給3個(gè)人，有幾種分法。“排列”

　　把5本書(shū)分給3個(gè)人，有幾種分法“組合”

　　1.排列及計算公式

　　從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數，用符號p(n，m)表示。

　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(規定0！=1).

　　2.組合及計算公式

　　從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數。用符號

　　c(n，m)表示。

　　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；

　　3.其他排列與組合公式

　　從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數=p(n，r)/r=n！/r(n-r).

　　n個(gè)元素被分成k類(lèi)，每類(lèi)的個(gè)數分別是n1，n2，……nk這n個(gè)元素的全排列數為

　　n！/(n1！*n2！*……*nk！).

　　k類(lèi)元素，每類(lèi)的個(gè)數無(wú)限，從中取出m個(gè)元素的組合數為c(m+k-1，m).

　　排列(Pnm(n為下標，m為上標))

　　Pnm=n×(n-1)……(n-m+1)；Pnm=n！/(n-m)！(注：！是階乘符號)；Pnn(兩個(gè)n分別為上標和下標)=n��；0！=1；Pn1(n為下標1為上標)=n

　　組合(Cnm(n為下標，m為上標))

　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！(n-m)��；Cnn(兩個(gè)n分別為上標和下標)=1；Cn1(n為下標1為上標)=n；Cnm=Cnn-m

　　2008-07-0813：30

　　公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數R參與選擇的元素個(gè)數！-階乘，如9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1

　　從N倒數r個(gè)，表達式應該為n*(n-1)*(n-2).(n-r+1)；

　　因為從n到(n-r+1)個(gè)數為n-(n-r+1)=r

　　舉例：

　　Q1：有從1到9共計9個(gè)號碼球，請問(wèn)，可以組成多少個(gè)三位數？

　　A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。

　　上問(wèn)題中，任何一個(gè)號碼只能用一次，顯然不會(huì )出現988，997之類(lèi)的組合，我們可以這么看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個(gè)位數則應該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數。計算公式=P(3，9)=9*8*7，(從9倒數3個(gè)的乘積)

　　Q2：有從1到9共計9個(gè)號碼球，請問(wèn)，如果三個(gè)一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？

　　A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計算范疇。

　　上問(wèn)題中，將所有的包括排列數的個(gè)數去除掉屬于重復的個(gè)數即為最終組合數C(3，9)=9*8*7/3*2*1

　　排列、組合的概念和公式典型例題分析

　　例1設有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組。(1)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；(2)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加。各有多少種不同方法？

　　解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數，因此共有種不同方法。

　　(2)由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法。

　　點(diǎn)評由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問(wèn)都用乘法原理進(jìn)行計算。

　　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？

　　解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè)，共3類(lèi)，每一類(lèi)中不同排法可采用畫(huà)“樹(shù)圖”的方式逐一排出：

　　∴符合題意的不同排法共有9種。

　　點(diǎn)評按照分“類(lèi)”的思路，本題應用了加法原理。為把握不同排法的規律，“樹(shù)圖”是一種具有直觀(guān)形象的有效做法，也是解決計數問(wèn)題的一種數學(xué)模型。

　　例3判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？并計算出結果。

　　(1)高三年級學(xué)生會(huì )有11人：①每?jì)扇嘶ネㄒ环庑�，共通了多少封信？②每�(jì)扇嘶ノ樟艘淮问�，共握了多少次手�?/p>

　　(2)高二年級數學(xué)課外小組共10人：①從中選一名正組長(cháng)和一名副組長(cháng)，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數學(xué)競賽，有多少種不同的選法？

　　(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數：①從中任取兩個(gè)數求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？

　　(4)有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？

　　分析(1)①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每?jì)扇嘶ノ找淮问�，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題。其他類(lèi)似分析。

　　(1)①是排列問(wèn)題，共用了封信；②是組合問(wèn)題，共需握手(次).

　　(2)①是排列問(wèn)題，共有(種)不同的選法；②是組合問(wèn)題，共有種不同的選法。

　　(3)①是排列問(wèn)題，共有種不同的商；②是組合問(wèn)題，共有種不同的積。

　　(4)①是排列問(wèn)題，共有種不同的選法；②是組合問(wèn)題，共有種不同的選法。

　　例4證明。

　　證明左式

　　右式。

　　∴等式成立。

　　點(diǎn)評這是一個(gè)排列數等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。

　　例5化簡(jiǎn)。

　　解法一原式

　　解法二原式

　　點(diǎn)評解法一選用了組合數公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。

　　例6解方程：(1)；(2).

　　解(1)原方程

　　解得。

　　(2)原方程可變?yōu)?/p>

　　∵，

　　∴原方程可化為。

　　即，解得