高中數學(xué)必修一總結

　　1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個(gè)特性：

　　1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無(wú)序性

　　說(shuō)明：(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

　　(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。

　　(3)集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

　　(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

　　3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意�。撼Ｓ脭导�及其記法：

　　非負整數集(即自然數集)記作：N

　　正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實(shí)數集R

　　關(guān)于“屬于”的概念

　　集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。

　�、僬Z(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　�、跀祵W(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

　　4、集合的分類(lèi)：

　　1.有限集含有有限個(gè)元素的集合

　　2.無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

　　3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合間的基本關(guān)系

　　1.“包含”關(guān)系—子集

　　注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實(shí)例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

　　結論：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，即：A=B

　�、偃魏我粋�(gè)集合是它本身的子集。AíA

　�、谡孀蛹�:如果AíB,且A1B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　�、廴绻鸄íB,BíC,那么AíC

　�、苋绻鸄íB同時(shí)BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　三、集合的運算

　　1.交集的定義：一般地，由所有屬于A(yíng)且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

　　記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

　　3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

　　A∪φ=A,A∪B=B∪A.

　　4、全集與補集

　　(1)補集：設S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即)，由S中所有不屬于A(yíng)的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)

　　記作：CSA即CSA={x|x?S且x?A}

　　S

　　CsA

　　A

　　(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。

　　(3)性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

　　二、函數的有關(guān)概念

　　1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

　　注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數的集合;3函數的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區間的形式.

　　定義域補充

　　能使函數式有意義的實(shí)數x的集合稱(chēng)為函數的定義域，求函數的定義域時(shí)列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零;(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過(guò)四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零(6)實(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.

　　(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)

　　構成函數的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域

　　再注意：(1)構成函數三個(gè)要素是定義域、對應關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數相等(或為同一函數)(2)兩個(gè)函數相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

　　(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)

　　值域補充

　　(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。

　　3.函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.

　　C上每一點(diǎn)的坐標(x，y)均滿(mǎn)足函數關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序實(shí)數對x、y為坐標的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

　　圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(xiàn)(或直線(xiàn)),也可能是由與任意平行與Y軸的直線(xiàn)最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線(xiàn)或離散點(diǎn)組成。

　　(2)畫(huà)法

　　A、描點(diǎn)法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線(xiàn)將這些點(diǎn)連接起來(lái).

　　B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

　　高一數學(xué)必修1常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱(chēng)變換

　　(3)作用：

　　1、直觀(guān)的看出函數的性質(zhì);2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

　　發(fā)現解題中的錯誤。

　　4.快去了解區間的概念

　　(1)區間的分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間;(2)無(wú)窮區間;(3)區間的數軸表示.

　　5.什么叫做映射

　　一般地，設A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”

　　給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說(shuō)明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關(guān)系一般是不同的;③對于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應滿(mǎn)足：(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個(gè);(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

　　常用的函數表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：

　　1函數圖象既可以是連續的曲線(xiàn)，也可以是直線(xiàn)、折線(xiàn)、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數圖象的依據;2解析法：必須注明函數的定義域;3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡(jiǎn)函數的解析式;觀(guān)察函數的特征;4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

　　注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮抵�。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值

　　補充一：分段函數(參見(jiàn)課本P24-25)

　　在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時(shí)必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而就寫(xiě)函數值幾種不同的表達式并用一個(gè)左大括號括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個(gè)函數，不要把它誤認為是幾個(gè)函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

　　補充二：復合函數

　　如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱(chēng)為f、g的復合函數。

　　例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)

　　7.函數單調性

　　(1).增函數

　　設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個(gè)區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當x1

　　注意：1函數的單調性是在定義域內的某個(gè)區間上的性質(zhì)，是函數的局部性質(zhì);

　　2必須是對于區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2;當x1

　　(2)圖象的特點(diǎn)

　　如果函數y=f(x)在某個(gè)區間是增函數或減函數，那么說(shuō)函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

　　(3).函數單調區間與單調性的判定方法

　　(A)定義法：

　　1任取x1，x2∈D，且x1

　　(B)圖象法(從圖象上看升降)_

　　(C)復合函數的單調性

　　復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關(guān)，其規律如下：

　　函數

　　單調性

　　u=g(x)

　　增

　　增

　　減

　　減

　　y=f(u)

　　增

　　減

　　增

　　減

　　y=f[g(x)]

　　增

　　減

　　減

　　增

　　注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫(xiě)成其并集.2、還記得我們在選修里學(xué)習簡(jiǎn)單易行的導數法判定單調性嗎?

　　8.函數的奇偶性

　　(1)偶函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.

　　(2)奇函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.

　　注意：1函數是奇函數或是偶函數稱(chēng)為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質(zhì);函數可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

　　2由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內的任意一個(gè)x，則-x也一定是定義域內的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)).

　　(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

　　偶函數的圖象關(guān)于y軸對稱(chēng);奇函數的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng).

　　總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng);2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;3作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數.

　　注意�。汉瘮刀�義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，若不對稱(chēng)則函數是非奇非偶函數.若對稱(chēng)，(1)再根據定義判定;(2)有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.

　　9、函數的解析表達式

　　(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

　　(2).求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時(shí)，可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法;若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

　　10.函數最大(小)值(定義見(jiàn)課本p36頁(yè))

　　1利用二次函數的性質(zhì)(配方法)求函數的最大(小)值2利用圖象求函數的最大(小)值3利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

　　第二章基本初等函數

　　一、指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.

　　當是奇數時(shí)，正數的次方根是一個(gè)正數，負數的次方根是一個(gè)負數.此時(shí)，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開(kāi)方數(radicand).

　　當是偶數時(shí)，正數的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數互為相反數.此時(shí)，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。

　　注意：當是奇數時(shí)，，當是偶數時(shí)，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規定：

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒(méi)有意義

　　指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數指數冪.

　　3.實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)

　　(1)?;

　　(2);

　　(3).

　　(二)指數函數及其性質(zhì)

　　1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質(zhì)

　　a>1

　　0

　　圖象特征

　　函數性質(zhì)

　　向x、y軸正負方向無(wú)限延伸

　　函數的定義域為R

　　圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱(chēng)

　　非奇非偶函數

　　函數圖象都在x軸上方

　　函數的值域為R+

　　函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)

　　自左向右看，

　　圖象逐漸上升

　　自左向右看，

　　圖象逐漸下降

　　增函數

　　減函數

　　在第一象限內的圖象縱坐標都大于1

　　在第一象限內的圖象縱坐標都小于1

　　在第二象限內的圖象縱坐標都小于1

　　在第二象限內的圖象縱坐標都大于1

　　圖象上升趨勢是越來(lái)越陡

　　圖象上升趨勢是越來(lái)越緩

　　函數值開(kāi)始增長(cháng)較慢，到了某一值后增長(cháng)速度極快;

　　函數值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;

　　注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

　　(1)在[a，b]上，值域是或;

　　(2)若，則;取遍所有正數當且僅當;

　　(3)對于指數函數，總有;

　　(4)當時(shí)，若，則;

　　二、對數函數

　　(一)對數

　　1.對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：(—底數，—真數，—對數式)

　　說(shuō)明：1注意底數的限制，且;

　　2;

　　3注意對數的書(shū)寫(xiě)格式.

　　兩個(gè)重要對數：

　　1常用對數：以10為底的對數;

　　2自然對數：以無(wú)理數為底的對數的對數.

　　對數式與指數式的互化

　　對數式指數式

　　對數底數←→冪底數

　　對數←→指數

　　真數←→冪

　　(二)對數的運算性質(zhì)

　　如果，且，，，那么：

　　1?+;

　　2-;

　　3.

　　注意：換底公式

　　(，且;，且;).

　　利用換底公式推導下面的結論(1);(2).

　　(二)對數函數

　　1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+∞).

　　注意：1對數函數的定義與指數函數類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。

　　如：，都不是對數函數，而只能稱(chēng)其為對數型函數.

　　2對數函數對底數的限制：，且.

　　2、對數函數的性質(zhì)：

　　a>1

　　0

　　圖象特征

　　函數性質(zhì)

　　函數圖象都在y軸右側

　　函數的定義域為(0，+∞)

　　圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱(chēng)

　　非奇非偶函數

　　向y軸正負方向無(wú)限延伸

　　函數的值域為R

　　函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)

　　自左向右看，

　　圖象逐漸上升

　　自左向右看，

　　圖象逐漸下降

　　增函數

　　減函數

　　第一象限的圖象縱坐標都大于0

　　第一象限的圖象縱坐標都大于0

　　第二象限的圖象縱坐標都小于0

　　第二象限的圖象縱坐標都小于0

　　(三)冪函數

　　1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱(chēng)為冪函數，其中為常數.

　　2、冪函數性質(zhì)歸納.

　　(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1);

　　(2)時(shí)，冪函數的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區間上是增函數.特別地，當時(shí)，冪函數的圖象下凸;當時(shí)，冪函數的圖象上凸;

　　(3)時(shí)，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸.

　　第三章函數的應用

　　一、方程的根與函數的零點(diǎn)

　　1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數，把使成立的實(shí)數叫做函數的零點(diǎn)。

　　2、函數零點(diǎn)的意義：函數的零點(diǎn)就是方程實(shí)數根，亦即函數的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標。即：

　　方程有實(shí)數根函數的圖象與軸有交點(diǎn)函數有零點(diǎn).

　　3、函數零點(diǎn)的求法：

　　求函數的零點(diǎn)：

　　1(代數法)求方程的實(shí)數根;

　　2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn).

　　4、二次函數的零點(diǎn)：

　　二次函數.

　　1)△>0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn).

　　2)△=0，方程有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

　　3)△<0，方程無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數無(wú)零點(diǎn).