高一數學(xué)集合與函數考點(diǎn)解析
2019-01-21 19:46:57三好網(wǎng)
集合，在數學(xué)上是一個(gè)基礎概念。集合是把人們的直觀(guān)的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個(gè)整體(或稱(chēng)為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱(chēng)為這一集合的元素(或簡(jiǎn)稱(chēng)為元)。
元素與集合的關(guān)系
元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。
集合與集合之間的關(guān)系
某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合集合符號，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無(wú)限個(gè)元素叫無(wú)限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ�？占侨魏渭系淖蛹�，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。
集合的幾種運算法則
并集：以屬于A(yíng)或屬于B的元素為元素的集合稱(chēng)為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬于A(yíng)且屬于B的元素為元素的集合稱(chēng)為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。
對稱(chēng)差集：設A，B為集合，A與B的對稱(chēng)差集A△B定義為：A△B=（A-B）∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A？B={a，c，d}對稱(chēng)差運算的另一種定義是：A？B=（A∪B）-(A∩B)無(wú)限集：定義：集合里含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集有限集：令N*是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個(gè)正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那么A叫做有限集合。差：以屬于A(yíng)而不屬于B的元素為元素的集合稱(chēng)為A與B的差（集）。記作：AB={x│x∈A，x不屬于B}。注：空集包含于任何集合，但不能說(shuō)“空集屬于任何集合”.補集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱(chēng)為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A(yíng)}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中沒(méi)有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術(shù)當中，常常把CuA寫(xiě)成~A。
集合元素的性質(zhì)
1.確定性：每一個(gè)對象都能確定是不是某一集合的元素，沒(méi)有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數”都不能構成集合。這個(gè)性質(zhì)主要用于判斷一個(gè)集合是否能形成集合。2.獨立性：集合中的元素的個(gè)數、集合本身的個(gè)數必須為自然數。3.互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對象。如寫(xiě)成{1，1，2}，等同于{1，2}�；ギ愋允辜现械脑厥菦](méi)有重復，兩個(gè)相同的對象在同一個(gè)集合中時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。4.無(wú)序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個(gè)集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個(gè)例子來(lái)表示。集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x(chóng)<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x(chóng)<2的數都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。
集合有以下性質(zhì)
若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大寫(xiě)拉丁字母來(lái)表示，如：A，B，C…而對于集合中的元素則用小寫(xiě)的拉丁字母來(lái)表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當于集合的名字，沒(méi)有任何實(shí)際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個(gè)等式來(lái)表示的，例如：A={…}的形式。等號左邊是大寫(xiě)的拉丁字母，右邊花括號括起來(lái)的，括號內部是具有某種共同性質(zhì)的數學(xué)元素。
常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)﹐寫(xiě)在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示無(wú)限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來(lái)﹐寫(xiě)在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實(shí)數組成的集合表示為：{x|0<x<π}3.圖示法（Venn圖）﹕為了形象表示集合，我們常常畫(huà)一條封閉的曲線(xiàn)（或者說(shuō)圓圈），用它的內部表示一個(gè)集合。集合
4.自然語(yǔ)言常用數集的符號：（1）全體非負整數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)非負整數集（或自然數集），記作N；不包括0的自然數集合，記作N*（2）非負整數集內排除0的集，也稱(chēng)正整數集，記作Z+；負整數集內也排除0的集，稱(chēng)負整數集，記作Z-（3）全體整數的集合通常稱(chēng)作整數集，記作Z（4）全體有理數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)有理數集，記作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互質(zhì)}(正負有理數集合分別記作Q+Q-)（5）全體實(shí)數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)實(shí)數集，記作R（正實(shí)數集合記作R+；負實(shí)數記作R-）（6）復數集合計作C集合的運算：集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合時(shí)，會(huì )遇到有關(guān)集合中的元素個(gè)數問(wèn)題，我們把有限集合A的元素個(gè)數記為card(A)。例如A={a，b，c}，則card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德國數學(xué)家，集合論創(chuàng )始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求補律A∪CuA=UA∩CuA=Φ設A為集合，把A的全部子集構成的集合叫做A的冪集德摩根律A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=（A-B)U(A-C)～（BUC)=~B∩~C～（B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示復數集C實(shí)數集R正實(shí)數集R+負實(shí)數集R-整數集Z正整數集Z+負整數集Z-有理數集Q正有理數集Q+負有理數集Q-不含0的有理數集Q*
在考試時(shí)候應該注意哪些問(wèn)題呢？
1.進(jìn)行集合的交、并、補運算時(shí)，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進(jìn)行求解。
2.在應用條件時(shí)，易A忽略是空集的情況
3.你會(huì )用補集的思想解決有關(guān)問(wèn)題嗎？
4.簡(jiǎn)單命題與復合命題有什么區別？四種命題之間的相互關(guān)系是什么？如何判斷充分與必要條件？
5.你知道否命題與命題的否定形式的區別。
6.求解與函數有關(guān)的問(wèn)題易忽略定義域優(yōu)先的原則。
7.判斷函數奇偶性時(shí)，易忽略檢驗函數定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。
8.求一個(gè)函數的解析式和一個(gè)函數的反函數時(shí)，易忽略標注該函數的定義域。
9.原函數在區間[-a，a]上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增；但一個(gè)函數存在反函數，此函數不一定單調。例如：。
10.你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎？定義法(取值，作差，判正負)和導數法
11.求函數單調性時(shí)，易錯誤地在多個(gè)單調區間之間添加符號∪和或；單調區間不能用集合或不等式表示。
12.求函數的值域必須先求函數的定義域。
13.如何應用函數的單調性與奇偶性解題？①比較函數值的大��；②解抽象函數不等式；③求參數的范圍(恒成立問(wèn)題)。這幾種基本應用你掌握了嗎？
14.解對數函數問(wèn)題時(shí)，你注意到真數與底數的限制條件了嗎？
(真數大于零，底數大于零且不等于1)字母底數還需討論
15.三個(gè)二次(哪三個(gè)二次？)的關(guān)系及應用掌握了嗎？如何利用二次函數求最值？
16.用換元法解題時(shí)易忽略換元前后的等價(jià)性，易忽略參數的范圍。
17.實(shí)系數一元二次方程有實(shí)數解轉化時(shí)，你是否注意到：當時(shí)，方程有解不能轉化為。若原題中沒(méi)有指出是二次方程，二次函數或二次不等式，你是否考慮到二次項系數可能為的零的情形。
