高三數學(xué)平面向量考點(diǎn)解析

　　1、 高中數學(xué)知識點(diǎn)總結平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。向量和數量是數學(xué)中討論的兩種量的形式，數量是實(shí)數。

　　2、  平面向量的三種形式：

　�。�1）字母形式：用單獨的小寫(xiě)字母帶箭頭或者用兩個(gè)大寫(xiě)字母帶箭頭表示向量；

　�。�2）幾何形式；用平面內的有向線(xiàn)段表示向量，零向量是一個(gè)點(diǎn)；

　�。�3）坐標形式：向量可以在坐標平面內用坐標表示，向量坐標等于它的終點(diǎn)坐標減去始點(diǎn)坐標。

　　3、平面向量的相關(guān)概念，

　�。�1）模（絕對值）：向量的大小或者向量的長(cháng)度叫做向量的模，模是大于等于的實(shí)數。模也叫作絕對值、大小、長(cháng)度，這幾個(gè)說(shuō)法是一個(gè)意思。

　�。�2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），兩個(gè)相等向量的x，y坐標對應相等。

　�。�3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。一個(gè)向量加負號即變?yōu)槠湎喾聪蛄�，在向量化�?jiǎn)和運算中很常見(jiàn)、很重要。

　�。�4）平行（共線(xiàn)）向量：平面內兩個(gè)向量所在的直線(xiàn)平行或者重合，則說(shuō)這兩個(gè)向量平行（或者共線(xiàn)），用平行符號表示。因為向量可以自由平移，所以對向量來(lái)講平行和共線(xiàn)是一個(gè)意思。兩個(gè)非零向量平行時(shí)，必定方向相同或相反。規定零向量和任意向量都平行，但不能說(shuō)零向量和其它向量方向相同或相反。

　�。�5）垂直向量：兩向量所在的直線(xiàn)垂直（或者說(shuō)夾角為90度），則說(shuō)這兩個(gè)向量為垂直向量，用垂直符號表示。規定零向量和任意向量都垂直，但不能說(shuō)夾角90度。

　�。�6）零向量：大小為零（或者說(shuō)模、絕對值、長(cháng)度為零都是一個(gè)意思）的向量叫做零向量，規定零向量的方向是任意的，不能討論零向量和其它向量方向的關(guān)系及夾角問(wèn)題。規定零向量和任意向量都平行且垂直。

　�。�7）單位向量：長(cháng)度為1的向量叫做單位向量。一個(gè)向量除以自己的模得到和這個(gè)向量同方向的單位向量；單位向量乘以一個(gè)向量的模得到這個(gè)向量。

　�。�8）位置向量：向量AB可以表示點(diǎn)B相對點(diǎn)A的位置，所以向量AB可以叫做點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的位置向量。

　�。�9）方向向量：一個(gè)非零向量與一條直線(xiàn)平行，則這個(gè)向量叫做這條直線(xiàn)的平行向量。一條直線(xiàn)的方向向量有無(wú)數多個(gè)。方向向量能體現直線(xiàn)的方向，作用和直線(xiàn)的斜率相同，方向向量的坐標和斜率可以相互轉化。記住如下結論：若已知直線(xiàn)的斜率為K，則（1，K）為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量；若（m，n）是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則直線(xiàn)的斜率為n/m。

　�。�10）平移向量：平面內的點(diǎn)或者圖像按照某一個(gè)向量平移的意思是：按照向量的方向，平移向量的長(cháng)度。具體在平移的時(shí)候，是分解為水平方向和豎直方向兩步平移的。平移向量坐標為正就移向軸的正方向，坐標為負就移向軸的負方向。點(diǎn)平移后的坐標是原坐標的x，y加上平移向量的坐標；圖像平移后的方程是原方程中的x，y減去平移向量的坐標。

　　4、平面向量的線(xiàn)性運算

　�。�1）向量的加法滿(mǎn)足三角形，平行四邊形和多邊形法則。用加法的三角形法則和多邊形法則時(shí)要保證向量之間首尾相接，然后從第一個(gè)向量的始點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)得到的向量就是和向量。多邊形法則是三角形法則的拓展，關(guān)鍵都是向量要首尾相接。坐標形式相加是橫縱坐標分別相加。

　�。�2）向量的減法滿(mǎn)足三角形法則。用減法的三角形法則時(shí)要保證兩個(gè)向量始點(diǎn)重合，從減數向量的終點(diǎn)指向被減數向量的終點(diǎn)得到的向量就是差向量。在兩向量共線(xiàn)時(shí)，加減法的三角形法則都成立。坐標形式相減是橫縱坐標分別相減。

　�。�3）向量的數乘運算是實(shí)數和向量相乘，乘法符號是點(diǎn)。數乘運算的效果是向量長(cháng)度的伸縮和方向的改變，要分實(shí)數大于0、小于0、等于0三種情況討論。乘完之后的向量和原向量一定共線(xiàn)。坐標形式的數乘是實(shí)數與橫縱坐標都相乘。

　　5、平面向量的兩個(gè)重要定理：

　�。�1）共線(xiàn)向量定理：向量b不是零向量時(shí)，“向量a等于一個(gè)實(shí)數乘以向量b”等價(jià)于“向量a與向量b共線(xiàn)，且實(shí)數系數唯一”。注意：向量b若可能是零向量時(shí)，等價(jià)關(guān)系不成立，但是若已知兩向量滿(mǎn)足數乘關(guān)系可以推出兩向量平行。當兩個(gè)向量是用基向量表示時(shí)，兩向量平行則基向量的系數對應成比例；當兩個(gè)向量是坐標形式時(shí)，這個(gè)定理對任意向量（包括零向量）都等價(jià)，即：“兩向量平行”等價(jià)于“坐標的內積等于外積”。

　�。�2）三點(diǎn)共線(xiàn)：三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題就是向量共線(xiàn)的問(wèn)題，等價(jià)于兩種向量的形式，哪一種好用就用哪一種。一、等價(jià)于用三個(gè)點(diǎn)任意構造兩個(gè)向量，兩個(gè)向量滿(mǎn)足數乘關(guān)系（或坐標滿(mǎn)足內積等于外積），建立等式；二、等價(jià)于以第四個(gè)點(diǎn)為公共始點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)構造三個(gè)向量，其中一個(gè)向量用另兩個(gè)向量線(xiàn)性表示，系數之和為1。還要注意三角形中的中線(xiàn)向量定理，還有重心向量的形式，還有中點(diǎn)坐標公式和重心坐標公式，中線(xiàn)和重心是三角形中重要的量。

　�。�3）平面向量基本定理：平面內任意的兩個(gè)不共線(xiàn)向量都可以做平面內的一組基向量，平面內的任意向量都可以由這一組基向量線(xiàn)性表示，且基向量的系數唯一。利用這個(gè)系數唯一求向量的系數是求系數問(wèn)題的重要方法。

　　6、平面向量的數量積

　�。�1）兩向量的夾角：兩向量始點(diǎn)重合或者終點(diǎn)重合時(shí)所成的0度到180度之間的角為兩向量的夾角；兩向量首尾相接時(shí)要找補角才是向量的夾角！兩向量的夾角用尖括號表示。

　�。�2）數量積的字母形式：兩向量相乘等于兩向量的模的乘積再乘以?shī)A角的余弦，乘法的結果是一個(gè)數量，所以這個(gè)乘法叫做數量積。乘法的符號是點(diǎn)。

　�。�3）數量積的幾何形式：一個(gè)向量的長(cháng)度乘以另一個(gè)向量在第一個(gè)向量方向上的射影的數量。射影是一個(gè)一維向量，它的數量也叫作它的坐標，有兩種計算形式哦：）

　�。�4）數量積的運算律：滿(mǎn)足交換律和分配律，不滿(mǎn)足結合律和消去律。（當多個(gè)實(shí)數和兩個(gè)向量做乘法運算時(shí)結合律成立，三個(gè)以上的向量相乘不滿(mǎn)足結合律，但是碰巧的某個(gè)結合也成立的可能）

　�。�5）數量積的運算性質(zhì)：兩向量垂直等價(jià)于數量積為零；向量的長(cháng)度等于向量平方再開(kāi)方；兩向量的夾角的余弦等于兩向量的數量積除以模的乘積。兩向量模的乘積大于等于數量積的模（等號成立的條件時(shí)至少一個(gè)向量為零向量或者兩個(gè)非零向量共線(xiàn)）可以對比如下結論：兩向量和差的模大于等于兩向量模的差，小于等于兩向量模的和，這里等號成立的條件時(shí)至少一個(gè)向量為零向量或者兩向量同向反向其中之一（大家自己畫(huà)圖分析：））

　　7、向量問(wèn)題的難點(diǎn)：

　�。�1）向量字母形式的化簡(jiǎn)和變形，分解和合成向量是難點(diǎn)。在向量比較多的時(shí)候要考慮找一組不共線(xiàn)向量做基向量表示其它向量，把向量的形式都統一成基向量（基向量最好是找長(cháng)度和夾角都知道的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，便于計算。一般是在平面圖形中找兩個(gè)相鄰的邊向量做基向量）。

　�。�2）向量的表示和運算都有三種形式：字母形式，幾何形式，坐標形式，選擇好正確的形式解題會(huì )化難為易。一般的思路是能畫(huà)圖的先畫(huà)圖，使用向量的幾何形式分析，看不出來(lái)的可以考慮建坐標系用坐標形式計算，再不行的用字母形式化簡(jiǎn)計算。能通過(guò)圖形觀(guān)察解決的是最方便和準確，需要計算的話(huà)坐標形式最好用，字母形式是比較抽象的。不過(guò)有的題給出比較熟悉的字母形式的條件，那就直接化簡(jiǎn)好了，一般來(lái)講最后都是能化簡(jiǎn)為兩個(gè)向量的數乘關(guān)系或者數量積為零的形式！還要注意三種形式的綜合使用。

　�。�3）注意向量和三角、解析幾何、平面幾何的結合。在向量條件里出現三角函數的形式時(shí)，往往涉及到三角函數公式的應用；向量坐標形式有時(shí)會(huì )用到解析幾何的公式和結論；平面圖形中的向量問(wèn)題也可能用到初中平面幾何的定理推論。