高三數學(xué)解析幾何考點(diǎn)解析

　　高中數學(xué)幾何題解題技巧我們先來(lái)分析一下解析幾何高考的命題趨勢：

　　(1)題型穩定：近幾年來(lái)高考解析幾何試題一直穩定在三(或二)個(gè)選擇題，一個(gè)填空題，一個(gè)解答題上，占總分值的20%左右。

　　(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：其中對直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)知識的考查幾乎沒(méi)有遺漏，通過(guò)對知識的重新組合，考查時(shí)既留意全面，更留意突出重點(diǎn)，對支撐數學(xué)科知識體系的主干知識，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度。近幾年新教材高考對解析幾何內容的考查主要集中在如下幾個(gè)類(lèi)型：

　�、� 求曲線(xiàn)方程(類(lèi)型確定、類(lèi)型未定)；

　�、谥本�(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)題目(含切線(xiàn)題目)；

　�、叟c曲線(xiàn)有關(guān)的最(極)值題目；

　�、芘c曲線(xiàn)有關(guān)的幾何證實(shí)(對稱(chēng)性或求對稱(chēng)曲線(xiàn)、平行、垂直)；

　�、萏角笄�線(xiàn)方程中幾何量及參數間的數目特征；

　　(3)能力立意，滲透數學(xué)思想：一些雖是常見(jiàn)的基本題型，但假如借助于數形結合的思想，就能快速正確的得到答案。

　　(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關(guān)知識的聯(lián)系(如向量、函數、方程、不等式等)，凸現教材中研究性學(xué)習的能力要求。加大探索性題型的分量。

　　在近年高考中，對直線(xiàn)與圓內容的考查主要分兩部分：

　　(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類(lèi)題一般難度不大，但每年必考，考查內容主要有以下幾類(lèi)：

　�、倥c本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線(xiàn)性規劃等)有關(guān)的題目；

　�、趯ΠV光目(包括關(guān)于點(diǎn)對稱(chēng)，關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng))要熟記解法；

　�、叟c圓的位置有關(guān)的題目，其常規方法是研究圓心到直線(xiàn)的間隔.

　　以及其他“標準件”類(lèi)型的基礎題。

　　(2)以解答題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，此類(lèi)題綜合性比較強，難度也較大。

　　預計在今后一、二年內，高考對本章的考查會(huì )保持相對穩定，即在題型、題量、難度、重點(diǎn)考查內容等方面不會(huì )有太大的變化。

　　相比較而言，圓錐曲線(xiàn)內容是平面解析幾何的核心內容，因而是高考重點(diǎn)考查的內容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀(guān)題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線(xiàn)的概念和性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐的位置關(guān)系等，從近十年高考試題看大致有以下三類(lèi)：

　　(1)考查圓錐曲線(xiàn)的概念與性質(zhì)；

　　(2)求曲線(xiàn)方程和求軌跡；

　　(3)關(guān)于直線(xiàn)與圓及圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的題目.

　　選擇題主要以橢圓、雙曲線(xiàn)為考查對象，填空題以?huà)佄锞�(xiàn)為考查對象，解答題以考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系為主，對于求曲線(xiàn)方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學(xué)生的想象能力、分析題目的能力，從而體現解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨考查，總是與直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)相結合的綜合型考題，等軸雙曲線(xiàn)基本不出題，坐標軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現.解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標法以及二次曲線(xiàn)性質(zhì)的運用的命題趨向要引起我們的重視.

　　請同學(xué)們留意圓錐曲線(xiàn)的定義在解題中的應用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質(zhì).從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數方程是研究曲線(xiàn)的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數方程與普通方程互化及等價(jià)變換的數學(xué)思想方法。

　　考查的重點(diǎn)要落在軌跡方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，往往是通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程的聯(lián)立、消元，借助于韋達定理代人、向量搭橋建立等量關(guān)系�？疾轭}型涉及的知識點(diǎn)題目有求曲線(xiàn)方程題目、參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)題目、對癡光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。

　　命題特別留意對思維嚴密性的考查，解題時(shí)需要留意考慮以下幾個(gè)題目：

　　1、設曲線(xiàn)方程時(shí)看清焦點(diǎn)在哪條坐標軸上；留意方程待定形式及參數方程的使用。

　　2、直線(xiàn)的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。

　　3、命題結論給出的方式：搞清題目所給的幾個(gè)小題是并列關(guān)系還是遞進(jìn)關(guān)系。假如前后小題各自有強化條件，則為并列關(guān)系，前面小題結論后面小題不能用；不過(guò)考題經(jīng)常給出的是遞進(jìn)關(guān)系，有(1)、第一問(wèn)求曲線(xiàn)方程、第二問(wèn)討論直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，(2)第一問(wèn)求離心率、第二問(wèn)結合圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)求曲線(xiàn)方程，(3)探索型題目等。解題時(shí)要根據不同情況考慮施加不同的解答技巧。

　　4、題目條件如與向量知識結合，也要留意向量的給出形式：

　　(1)、直接反映圖形位置關(guān)系和性質(zhì)的，如？=0，=( )，λ，以及過(guò)三角形“四心”的向量表達式等；

　　(2)、=λ：假如已知M的坐標，按向量展開(kāi)；假如未知M的坐標，按定比分點(diǎn)公式代進(jìn)表示M點(diǎn)坐標。

　　(3)、若題目條件由多個(gè)向量表達式給出，則考慮其圖形特征(數形結合)。

　　5、考慮圓錐曲線(xiàn)的第一定義、第二定義的區別使用，留意圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)的應用。

　　6、留意數形結合，特別留意圖形反映的平面幾何性質(zhì)。

　　7、解析幾何題的另一個(gè)考查的重點(diǎn)就是學(xué)生的基本運算能力，所以解析幾何考題學(xué)生普遍感覺(jué)較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過(guò)程中，發(fā)現積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對癡規換的技巧，構造對稱(chēng)式用韋達定理代進(jìn)的技巧，構造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。

　　8、平面解析幾何與平面向量都具有數與形結合的特征，所以這兩者多有結合，在它們的知識點(diǎn)交匯處命題，也是高考命題的一大亮點(diǎn).直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系題目是�？汲Ｐ�、經(jīng)久不衰的一個(gè)考查重點(diǎn)，另外，圓錐曲線(xiàn)中參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對癡光目等綜合性題目也是高考的�？碱}型.解析幾何題一般來(lái)說(shuō)計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個(gè)綜合性較強的題目，對考生的意志品質(zhì)和數學(xué)機智都是一種考驗，是高考試題中區分度較大的一個(gè)題目，有可能作為今年高考的一個(gè)壓軸題出現.

　　知識梳理：

　　●求曲線(xiàn)方程或點(diǎn)的軌跡

　　求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個(gè)熱門(mén)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng )新意識為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門(mén)，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的把握程度。

　　高中數學(xué)幾何題解題技巧下面先容幾種常用的方法

　　(1) 直接法：動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x、粉底液哪個(gè)牌子好y的等式就得到曲線(xiàn)軌跡方程。

　　(2) 定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

　　(3) 幾何法：若所求的軌跡滿(mǎn)足某些幾何性質(zhì)(如線(xiàn)段中垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)性質(zhì)等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進(jìn)點(diǎn)的坐標較簡(jiǎn)單。

　　(4) 相關(guān)點(diǎn)法(代進(jìn)法)：有些題目中，某動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著(zhù)另一動(dòng)點(diǎn)(稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn))而運動(dòng)的，假如相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件是明顯的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標表示相關(guān)點(diǎn)坐標，再把相關(guān)點(diǎn)代進(jìn)其所滿(mǎn)足的方程，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

　　(5) 參數法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應滿(mǎn)足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運動(dòng)經(jīng)常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱(chēng)這個(gè)變量為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法。消往參數，即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對動(dòng)點(diǎn)坐標取值范圍的影響。

　　(6) 交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì )出現要求兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡題目，這類(lèi)題目常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數)的坐標，再消往參數求出所求軌跡方程，該法經(jīng)常與參數法并用。

　　●求參數范圍題目

　　在解析幾何題目中，常用到參數來(lái)刻劃點(diǎn)和曲線(xiàn)的運動(dòng)和變化，對于參變量范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉化，需要用函數和變量往思考，因此要用函數和方程的思想作指導，利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數的取值范圍。

　　例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對于直線(xiàn)l： y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn) l 對稱(chēng)。

　　例2、已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1，0)，點(diǎn)P、Q在雙曲線(xiàn)的右支上，點(diǎn)M (m ， 0 ) 到直線(xiàn)AP的間隔為1，

　　(1)若直線(xiàn)AP的斜率為k ，且 ，求實(shí)數 m 的取值范圍

　　(2)當 時(shí)，ΔAPQ的內心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線(xiàn)的方程

　　●值域和最值題目

　　與解析幾何有關(guān)的函數的值域或弦長(cháng)、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數的綜合題目，需要以函數為工具來(lái)處理。

　　解析幾何中的最值題目，一般是根據條件列出所求目標――函數的關(guān)系式，然后根據函數關(guān)系式的特征選用參數法、配方法、判別式法，應用不等式的性質(zhì)，以及三角函數最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可借助圖形，利用數形結正當求最值。

　　例1、如圖，已知拋物線(xiàn) y2 = 4x 的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A 的坐標為(5，0)，傾斜角為π/4的直線(xiàn) l 與線(xiàn)段OA相交(不過(guò)O點(diǎn)或A點(diǎn))，且交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程，并求△AMN的最大面積。

　　●直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系題目

　　1、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系題目，從代數角度轉化為一個(gè)方程組實(shí)解個(gè)數研究(如能數形結合，可借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡(jiǎn)便)。即判定直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線(xiàn)方程帶進(jìn)曲線(xiàn)C的方程，消往y(有時(shí)消往x更方便)，得到一個(gè)關(guān)于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

　　當a=0時(shí)，這是一個(gè)一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。若C為雙曲線(xiàn)，則 l 平行與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)；若C為拋物線(xiàn)，則 l 平行與拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸。所以當直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)可能相交，也可能相切。

　　當 a≠0 時(shí)，若Δ>0 l與C相交

　　Δ=0 l與C相切

　　Δ<0 l與C相離

　　2、涉及圓錐曲線(xiàn)的弦長(cháng)，一般用弦長(cháng)公式結合韋達定理求解。

　　解決弦中點(diǎn)有兩種常用辦法：一是利用韋達定理及中點(diǎn)坐標公式；二是利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上，坐標滿(mǎn)足方程，作差構造出中點(diǎn)坐標和斜率的關(guān)系(點(diǎn)差法)

　　中點(diǎn)弦題目就是當直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，得到一條顯冬進(jìn)一步研究弦的中點(diǎn)的題目. 中點(diǎn)弦題目是解析幾何中的重點(diǎn)和熱門(mén)題目，在高考試題中經(jīng)常出現. 解決圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦題目，“點(diǎn)差法”是一個(gè)行之有效的方法，“點(diǎn)差法”顧名思義是代點(diǎn)作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為：①設出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標；②將端點(diǎn)的坐標代進(jìn)圓錐曲線(xiàn)方程相減；③得到弦的中點(diǎn)坐標與所在直線(xiàn)的斜率的關(guān)系，從而求出直線(xiàn)的方程；④ 作簡(jiǎn)要的檢驗. 本文試圖通過(guò)對一道高考試題解法的探討，談點(diǎn)個(gè)人見(jiàn)解.