十一種數學(xué)思想方法總結與詳解

　　數學(xué)思想方法是數學(xué)的靈魂，要想學(xué)好數學(xué)、用好數學(xué)，就要深入到數學(xué)靈魂深處。今天小編帶同學(xué)們學(xué)習十一種數學(xué)思想方法，包括函數方程思想、數形結合思想、分類(lèi)討論思想、方程思想、整體思想、化歸思想、隱含條件思想、類(lèi)比思想、建模思想、歸納推理思想、極限思想。

　　數學(xué)思想，是指現實(shí)世界的空間形式和數量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結果。數學(xué)思想是對數學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數學(xué)思想則是體現或應該體現于基礎數學(xué)中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學(xué)思想，它們含有傳統數學(xué)思想的精華和現代數學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著(zhù)的。通過(guò)數學(xué)思想的培養，數學(xué)的能力才會(huì )有一個(gè)大幅度的提高。掌握數學(xué)思想，就是掌握數學(xué)的精髓。

　　1、函數方程思想

　　函數思想，是指用函數的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數量關(guān)系入手，運用數學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉化為數學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還需要函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問(wèn)題的目的。

　　笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數學(xué)問(wèn)題→代數問(wèn)題→方程問(wèn)題。宇宙世界，充斥著(zhù)等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現的……等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。

　　函數描述了自然界中數量之間的關(guān)系，函數思想通過(guò)提出問(wèn)題的數學(xué)特征，建立函數關(guān)系型的數學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問(wèn)題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質(zhì)，是應用函數思想的關(guān)鍵。對所給的問(wèn)題觀(guān)察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構造出函數原型。另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題、集合問(wèn)題、數列問(wèn)題和某些代數問(wèn)題也可以轉化為與其相關(guān)的函數問(wèn)題，即用函數思想解答非函數問(wèn)題。

　　函數知識涉及的知識點(diǎn)多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應用函數思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構造函數關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類(lèi)的問(wèn)題，利用函數觀(guān)點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關(guān)系；實(shí)際應用問(wèn)題，翻譯成數學(xué)語(yǔ)言，建立數學(xué)模型和函數關(guān)系式，應用函數性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問(wèn)題也可以用函數方法解決。

　　2、數形結合思想

　　“數無(wú)形，少直觀(guān)，形無(wú)數，難入微”，利用“數形結合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。把代數和幾何相結合，例如對幾何問(wèn)題用代數方法解答，對代數問(wèn)題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號（(a-1)^2+(b-1)^2）+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐標系中，把它轉化成一個(gè)點(diǎn)到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四點(diǎn)的距離，就可以求出它的最小值。

　　3、分類(lèi)討論思想

　　當一個(gè)問(wèn)題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問(wèn)題的結果不同時(shí)，需要對這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。比如解不等式|a-1|>4的時(shí)候，就要分類(lèi)討論a的取值情況。

　　4、方程思想

　　當一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉化成一個(gè)二次方程的判別式。

　　5、整體思想

　　從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問(wèn)題的整體結構的分析和改造，發(fā)現問(wèn)題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學(xué)問(wèn)題中的具體運用。

　　6、化歸思想

　　在于將未知的，陌生的，復雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題。三角函數，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數學(xué)的尺規作圖等數學(xué)理論無(wú)不滲透著(zhù)轉化的思想。常見(jiàn)的轉化方式有：一般 特殊轉化，等價(jià)轉化，復雜 簡(jiǎn)單轉化，數形轉化，構造轉化，聯(lián)想轉化，類(lèi)比轉化等。

　　轉化思想亦可在狹義上稱(chēng)為化歸思想�；瘹w思想就是將待解決的或者難以解決的問(wèn)題A經(jīng)過(guò)某種轉化手段，轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問(wèn)題B，通過(guò)解決問(wèn)題B來(lái)解決問(wèn)題A的方法。

　　7、隱含條件思想

　　沒(méi)有明文表述出來(lái)，但是根據已有的明文表述可以推斷出來(lái)的條件，或者是沒(méi)有明文表述，但是該條件是一個(gè)常規或者真理。例如一個(gè)等腰三角形，一條線(xiàn)段垂直于底邊，那么這條線(xiàn)段所在的直線(xiàn)也平分底邊和頂角。

　　8、類(lèi)比思想

　　把兩個(gè)（或兩類(lèi)）不同的數學(xué)對象進(jìn)行比較，如果發(fā)現它們在某些方面有相同或類(lèi)似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類(lèi)似之處。

　　9、建模思想

　　為了更具科學(xué)性，邏輯性，客觀(guān)性和可重復性地描述一個(gè)實(shí)際現象，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語(yǔ)言來(lái)描述各種現象，這種語(yǔ)言就是數學(xué)。使用數學(xué)語(yǔ)言描述的事物就稱(chēng)為數學(xué)模型。有時(shí)候我們需要做一些實(shí)驗，但這些實(shí)驗往往用抽象出來(lái)了的數學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行相應的實(shí)驗，實(shí)驗本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。

　　10、歸納推理思想

　　由某類(lèi)事物的部分對象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結論的推理稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納)，簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理

　　另外，還有概率統計思想等數學(xué)思想，例如概率統計思想是指通過(guò)概率統計解決一些實(shí)際問(wèn)題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外，還可以用概率方法解決一些面積問(wèn)題。

　　我來(lái)舉例子~~圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。

　　也可將圖對折看，對稱(chēng)以后關(guān)系現。

　　角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。

　　角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。

　　線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，常向兩端把線(xiàn)連。

　　要證線(xiàn)段倍與半，延長(cháng)縮短可試驗。

　　三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。

　　三角形中有中線(xiàn)，延長(cháng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。

　　平行四邊形出現，對稱(chēng)中心等分點(diǎn)。

　　梯形里面作高線(xiàn)，平移一腰試試看。

　　平行移動(dòng)對角線(xiàn)，補成三角形常見(jiàn)。

　　證相似，比線(xiàn)段，添線(xiàn)平行成習慣。

　　等積式子比例換，尋找線(xiàn)段很關(guān)鍵。

　　直接證明有困難，等量代換少麻煩。

　　斜邊上面作高線(xiàn)，比例中項一大片。

　　半徑與弦長(cháng)計算，弦心距來(lái)中間站。

　　圓上若有一切線(xiàn)，切點(diǎn)圓心半徑連。

　　切線(xiàn)長(cháng)度的計算，勾股定理最方便。

　　要想證明是切線(xiàn)，半徑垂線(xiàn)仔細辨。

　　是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

　　弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

　　圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。

　　弦切角邊切線(xiàn)弦，同弧對角等找完。

　　要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線(xiàn)。

　　還要作個(gè)內接圓，內角平分線(xiàn)夢(mèng)圓

　　如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

　　內外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線(xiàn)。

　　若是添上連心線(xiàn)，切點(diǎn)肯定在上面。

　　要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

　　輔助線(xiàn)，是虛線(xiàn)，畫(huà)圖注意勿改變。

　　假如圖形較分散，對稱(chēng)旋轉去實(shí)驗。

　　基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。

　　解題還要多心眼，經(jīng)�？偨Y方法顯。

　　切勿盲目亂添線(xiàn)，方法靈活應多變。

　　分析綜合方法選，困難再多也會(huì )減。

　　虛心勤學(xué)加苦練，成績(jì)上升成直線(xiàn)。

　　11、極限思想

　　極限思想是微積分的基本思想，數學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。如果要問(wèn)：“數學(xué)分析是一門(mén)什么學(xué)科？”那么可以概括地說(shuō)：“數學(xué)分析就是用極限思想來(lái)研究函數的一門(mén)學(xué)科”。