淺談高考數學(xué)學(xué)科主要考察考生的哪些能力

　　《數學(xué)科考試說(shuō)明》規定，數學(xué)科考試的宗旨是：測試中學(xué)數學(xué)的基礎知識、基本技能、基本思想和方法；考查邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。對能力的考查是由數學(xué)科的特點(diǎn)和高考的性質(zhì)決定的，數學(xué)由于其邏輯的嚴密性、結論的確定性和應用的廣泛性的特點(diǎn)，在培養學(xué)生能力的過(guò)程中發(fā)揮重要的作用，被稱(chēng)為鍛煉思維的“體操”。因此，數學(xué)科考試應力圖發(fā)揮學(xué)科的特點(diǎn)，測試考生的能力水平。同時(shí)，高考是選拔性考試，注重預測效度，主要考查學(xué)生的學(xué)習潛能，因此，數學(xué)科考試應在考查基礎知識、基本技能、基本思想方法的同時(shí)，運用數學(xué)材料考查考生的能力。

　　數學(xué)學(xué)習中，邏輯思維能力、運算能力和空間想象能力是學(xué)生學(xué)習的基礎，是對學(xué)生數學(xué)認知特點(diǎn)的概括，是在數學(xué)活動(dòng)中表現和培養的，帶有數學(xué)的特點(diǎn)，因此被認為是數學(xué)能力。數學(xué)高考中注意分析其內涵，從不同側面不同層次考查學(xué)生數學(xué)能力。

　　一．邏輯思維能力

　　“會(huì )對問(wèn)題或數學(xué)材料進(jìn)行觀(guān)察、比較、分析、綜合、抽象與概括；會(huì )用演繹、歸納和類(lèi)比進(jìn)行判斷與推理；能準確、清晰、有條理地進(jìn)行表述。”這是《考試說(shuō)明》對“邏輯思維能力”的三個(gè)層次的說(shuō)明，這三個(gè)層次體現在解題過(guò)程中，表現為：能正確領(lǐng)會(huì )題意，明確解題目標；能尋找到實(shí)現解題目標的方向和合適的解題步驟；能通過(guò)合乎邏輯的推理和運算，正確地表述解題過(guò)程。重點(diǎn)是后兩個(gè)層次。“尋找解題的方向和步驟”，是充分運用觀(guān)察、比較、類(lèi)比、分析、綜合、演繹、歸納、抽象、概括等思維方式，對試題的條件和結論提供的外在信息與自身腦中的儲存的內在信息進(jìn)行提取、組合、加工和轉化，明確解題方向，形成解題策略，確定解題方法，選擇解題步驟。“合乎邏輯的推理和運算”中演繹推理的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要保證推理的合理性和論證的嚴密性，就必須掌握好有關(guān)的邏輯知識，如命題的充要條件、等價(jià)命題、邏輯劃分、推理規則等，從而做到因果關(guān)系明晰、推理步步有據，陳述層次清楚，論證完美無(wú)缺。

　　數學(xué)的邏輯思維過(guò)程，也就是運用數學(xué)的思想和方法，目的明確地對外來(lái)的和內在的信息進(jìn)行提取與轉化、加工與傳輸的思維活動(dòng)過(guò)程。在整個(gè)過(guò)程中，要求合乎邏輯，不悖常理，并能達到最終目的，同時(shí)還要將其正確陳述，讓人信服。邏輯思維能力是數學(xué)能力的核心，數學(xué)是一個(gè)各部分緊密聯(lián)系的邏輯系統，在數學(xué)領(lǐng)域中，只有被嚴密證明了的結論才被承認為正確。數學(xué)證明離不開(kāi)演繹推理，演繹推理能力是邏輯思維能力的重要組成部分。高考中對演繹推理的要求是：(1)因果關(guān)系交代清晰明了，絕不含糊，無(wú)論是由因導果，還是由果索因，陳述時(shí)，都應明白無(wú)誤，層次清楚，有條不紊；(2)合乎邏輯，說(shuō)明充分，根據確切、可靠；(3)概念、術(shù)語(yǔ)、公式、定理和字符的運用，應當正確、恰當和規范，并且合乎習慣；(4)論證完整，不重不漏。

　　歸納也是進(jìn)行數學(xué)推理的一種能力，歸納的方法是獲得數學(xué)結論的一個(gè)途徑，運用不完全歸納法，通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗，從特例中歸納出一般結論，形成猜想，然后加以證明，這是數學(xué)研究的基本方法之一。培養和提高學(xué)生的觀(guān)察、分析和歸納能力，是邏輯思維能力培養的重要方面。

　　近年的高考試題，在考查邏輯思維能力時(shí)，常常與運算能力結合考查，推導或證明問(wèn)題的結論，往往需要通過(guò)具體地運算；同時(shí)，在計算題中，也較多地揉進(jìn)了邏輯推理的成份，邊推理邊計算，不經(jīng)推理則無(wú)法計算。

　　二．運算能力

　　“會(huì )根據概念、公式和法則對數、式和方程進(jìn)行正確的運算和變形；能分析條件，尋求與設計合理、簡(jiǎn)捷的運算途徑；能根據要求對數據進(jìn)行估計，并能進(jìn)行近似計算。”這是《考試說(shuō)明》對“運算能力”的要求。準確是運算的最基本的要求，正確地記憶和運用運算公式及法則，是運算準確的前提，是“運算能力”第一層次的要求。要使運算能合理、簡(jiǎn)捷，對公式和法則做到能正用、反用、變用和活用，尋找捷徑，迅速獲得運算結果，這是“運算能力”第二層次的要求。注意運算與推理的結合，當然運算也是一種推理，這里指的是運算中考慮可能的推理，交互使用運算與推理，通過(guò)推理簡(jiǎn)化運算過(guò)程或尋找更為合理的運算程序，這是運算能力的更高層次的要求。

　　運算能力是一項基本能力，在高考中半數以上的題目需要運算，運算不僅可求出結果，有時(shí)還可輔助證題。在高考中，對運算能力的考查是比較全面的，涉及到實(shí)數、復數、整式、分式、根式、對數式、三角式、集合等運算，包括數值計算和字母推演。準確是運算的基本要求，簡(jiǎn)捷、合理是對考生思維深刻性、靈活性的考查，熟練，迅速是對思維敏捷性的考查。在高考中考查運算能力，一般不是增大每題的計算量，而是通過(guò)控制每題的計算量，增加題目量，一些題目需要一些技巧來(lái)解，而且注意精確與迅速、簡(jiǎn)捷與熟練相結合，注重考查算理。

　　怎樣提高運算能力呢？(1)必須概念清楚，熟練掌握公式、法則；(2)要求解題思路明確，遇到一個(gè)題目后要分析題目要求，比較各種解法，從中選出一種簡(jiǎn)捷、合理的解法，切忌還沒(méi)有理解題意就寫(xiě)上一些公式，套用一些思路和技巧，舍簡(jiǎn)就繁；(3)要自己動(dòng)手真正解一些題目，體會(huì )各種技巧的應用方法，總結解題規律，切不能只滿(mǎn)足于知道解法，明了思路。

　　三．空間想象能力

　　“能根據條件畫(huà)出正確的圖形，根據圖形想象出直觀(guān)形象；能正確地分析出圖形的基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進(jìn)行分解、組合與變形”是《考試說(shuō)明》對“空間想象能力”的要求。立體圖形畫(huà)在平面必然與實(shí)際圖形產(chǎn)生差異，容易造成錯覺(jué)，正確認識各元素的空間位置和圖形的空間結構；空間想象能力的第二層次表現為能準確領(lǐng)會(huì )“點(diǎn)線(xiàn)—線(xiàn)線(xiàn)—線(xiàn)面—面面”之間的聯(lián)系，并能就解題的根據、需要，對這些關(guān)系加以轉化，多數情況是把給出的條件轉化到某個(gè)平面上來(lái)，利用平面幾何的知識來(lái)解題；空間想象能力的第三個(gè)層次，是能對題中給出的圖形進(jìn)行分割一分解，組合一拼補，變形一轉換、位移或從不同視角觀(guān)察圖形，從而尋找出解題的最佳方法。

　　空間想象能力是對空間圖形處理的能力。高考中空間想象能力主要是通過(guò)立體幾何內容考查，立體幾何中立體圖形的特征是通過(guò)概念描述的，而對圖形的理解是解題的基礎。高考中通過(guò)考查概念，考查對圖形及位置關(guān)系理解和掌握的程度，特別是對照圖形，靈活運用概念于圖形的能力。在考查中一般不是只給出基本的元素計算，而是力求在考查角度和方位都有一些變化，在圖形的變式和非標準位置圖形中靈活運用概念、性質(zhì)等。

　　高考中考查空間想象能力要求考生根據題設條件想象和畫(huà)出圖形。在考題中，一般只給出最簡(jiǎn)單的圖形及最基本條件，在解答時(shí)需要以此為依托，根據定義和性質(zhì)自己畫(huà)出所需的線(xiàn)、面。對圖形處理的另一方面就是分割、補形、折疊、展平，通過(guò)對圖形的這些直觀(guān)處理一般能輔助解題，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷、明快。在圖形中確定元素間的基本位置關(guān)系要求考生能結合圖形進(jìn)行一定的論證。

　　四．分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

　　“能閱讀、理解陳述的材料，能綜合應用所學(xué)數學(xué)知識、思想和方法解決問(wèn)題，包括具有實(shí)際意義或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數學(xué)問(wèn)題，并能用數學(xué)語(yǔ)言正確地加以表述”是《考試說(shuō)明》對“分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”的要求。

　　前述的三種能力是數字領(lǐng)域中的基本數學(xué)能力，而分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力是一種綜合數學(xué)能力，反映出思維的更高層次。這里所說(shuō)的要解決的問(wèn)題，包括純數學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應用問(wèn)題。

　　對于純數學(xué)問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的思維活動(dòng)表現為：(1)能從題目的條件中提取有用的信息，從題目的求解(或求證)中考慮需要的信息；(2)能在記憶系統里儲存的數學(xué)信息中提取有關(guān)的信息，作為解決本題的依據，推動(dòng)(l)中信息的延伸；(3)將(1)、(2)中獲得的信息聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行加工、組合，主要是通過(guò)分析和綜合，一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋找正反兩個(gè)方面的知識“銜接點(diǎn)”一一一個(gè)固有的或確定的數學(xué)關(guān)系；(4)將(3)中的思維過(guò)程整理，形成一個(gè)從條件到結論的行動(dòng)序列。

　　對于數學(xué)的應用問(wèn)題，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的側重點(diǎn)，則是現實(shí)客觀(guān)事物的數學(xué)化。高考數學(xué)試題中設置這類(lèi)問(wèn)題，是基于現代社會(huì )對數學(xué)的需求，基于數學(xué)教育本身就是現實(shí)的數學(xué)教育，同時(shí)也是高校選拔人才的需要。

　　現實(shí)客觀(guān)事物數學(xué)化的過(guò)程，包括幾個(gè)層次的要求，首先是必須熟悉問(wèn)題所提供的背景；其次是能閱讀理解問(wèn)題對背景材料的陳述：再次是能運用數學(xué)的思想和方法分析題中各種數量之間的關(guān)系及聯(lián)系，構造數學(xué)模型，將現實(shí)問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，最后還應該能解決這個(gè)數學(xué)問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是考生對數學(xué)現實(shí)抽象、深化和提高的過(guò)程，是考生數學(xué)實(shí)力的反映。

　　高考數學(xué)試題中考查數學(xué)應用題，歷史上有過(guò)多次，1993年以來(lái)高考數學(xué)重新重視數學(xué)應用題，有著(zhù)更深刻的現實(shí)背景，這就是隨著(zhù)世界性的科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數字化技術(shù)已經(jīng)深人到現實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域，未來(lái)信息化社會(huì )對人的素質(zhì)的要求中，數學(xué)能力將是極其重要的組成部分。近年來(lái)國內外數學(xué)教育改革強調數學(xué)的“人人有份”和“問(wèn)題解決”，正是基于社會(huì )對數學(xué)的需求。高考作為培養未來(lái)社會(huì )人才的選拔性考試，理所當然要面對社會(huì )現實(shí)。正是這個(gè)更深層次的原因，現在強調高考中的重視數學(xué)應用，不能單純滿(mǎn)足于課本應用題的變形和發(fā)展，應該讓數學(xué)應用問(wèn)題更加貼近現實(shí)的生活實(shí)際，引導考生置身于現實(shí)的社會(huì )大環(huán)境，關(guān)心自己身邊的數學(xué)問(wèn)題。

　　在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力考查中，需要注意，問(wèn)題給出的方式采用的是材料的陳述，而不是客體的展示，也就是說(shuō)，所提的問(wèn)題，通常已進(jìn)行過(guò)初步的加工，并通過(guò)語(yǔ)言文字、符號或圖形，展現出來(lái)，要求考生能讀懂、看懂，因此，對閱讀理解數學(xué)材料的能力有較高的要求。另外，試題既然是以問(wèn)題為中心，而不是以知識為中心，解答起來(lái)，從分析、思考到求解，往往要用到多項知識和技能，帶有明顯的綜合性質(zhì)，對處理問(wèn)題的靈活性和機敏性有一定的考查要求�？傊�，在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力考查中，不僅僅是要求解幾個(gè)應用題，而是有著(zhù)更深一層的意義，核心是應用數學(xué)的意識和能力。