高二學(xué)數學(xué)的四種思想方法

高中數學(xué)的四種思想方法

　　1.函數與方程思想

　　1.1 函數思想是指用運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)去分析和研究數學(xué)中的數量關(guān)系，建立函數關(guān)系或構造函數，再運用函數的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問(wèn)題。

　　函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象，概括與提煉。在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時(shí)，起著(zhù)重要作用。

　　1.2 方程思想是分析數學(xué)中的等量關(guān)系，去構建方程或方程組，通過(guò)求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問(wèn)題。

　　方程思想是解決各類(lèi)計算問(wèn)題的基本思想，是運算能力的基礎。

　　2.數形結合思想

　　數學(xué)研究的對象是數量關(guān)系和空間形式，即數與形兩個(gè)方面。

　　數與形在一定的條件下可以轉化，數形結合的思想對問(wèn)題的解決有舉足輕重的作用。

　　如某些代數問(wèn)題、三角問(wèn)題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數三角問(wèn)題。而某些幾何問(wèn)題也往往可以通過(guò)數量的結構特征用代數的方法去解決。

　　在一維空間，實(shí)數與數軸上的點(diǎn)建立一一對應關(guān)系。在二維空間，實(shí)數對與坐標平面上的點(diǎn)建立一一對應關(guān)系。

　　數形結合中，選擇、填空題側重考查數到形的轉化。在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數的轉化。

　　3.分類(lèi)與整合思想

　　分類(lèi)討論思想是對數學(xué)對象進(jìn)行分類(lèi)尋求解答的一種思想方法。

　　分類(lèi)的原則：分類(lèi)不重不漏。

　　分類(lèi)的步驟：①確定討論的對象及其范圍；②確定分類(lèi)討論的分類(lèi)標準；③按所分類(lèi)別進(jìn)行討論；④歸納小結、綜合得出結論。

　　分類(lèi)討論問(wèn)題的關(guān)鍵是化整為零，通過(guò)局部討論以降低難度。常見(jiàn)的類(lèi)型：

　　3.1 由數學(xué)概念引起的的討論，如實(shí)數、有理數、絕對值、點(diǎn)(直線(xiàn)、圓)與圓的位置關(guān)系等概念的分類(lèi)討論；

　　3.2 由數學(xué)運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個(gè)正數還是負數的問(wèn)題；

　　3.3 由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論；

　　3.4 由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)問(wèn)題引起的討論。

　　3.5 由某些字母系數對方程的影響造成的分類(lèi)討論，如二次函數中字母系數對圖象的影響，二次項系數對圖象開(kāi)口方向的影響，一次項系數對頂點(diǎn)坐標的影響，常數項對截距的影響等。

　　4.化歸與轉化思想

　　化歸與轉化思想是一切數學(xué)思想方法的核心。

　　數形結合的思想體現了數與形的轉化。

　　函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化。

　　分類(lèi)討論思想體現了局部與整體的相互轉化。

　　所以，以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

　　轉化包括等價(jià)轉化和非等價(jià)轉化。

　　等價(jià)轉化要求在轉化的過(guò)程中前因和后果是充分的也是必要的。

　　不等價(jià)轉化就只有一種情況，因此，結論要注意檢驗、調整和補充。

　　轉化的原則：將不熟悉和難解的問(wèn)題轉化為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問(wèn)題。將抽象的問(wèn)題轉化為具體的和直觀(guān)的問(wèn)題。將復雜的轉化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。將一般的轉化為特殊的問(wèn)題。將實(shí)際的問(wèn)題轉化為數學(xué)的問(wèn)題等等，使問(wèn)題易于解決。

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