高中數學(xué)必修 冪函數性質(zhì)知識點(diǎn)總結歸納

　　冪函數

　　冪函數定義：

　　形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量?jì)鐬橐蜃兞�，指數為常量的函數稱(chēng)為冪函數。

　　定義域和值域：

　　當a為不同的數值時(shí)，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數，則函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數，則x不能小于0，這時(shí)函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;如果同時(shí)q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實(shí)數。當x為不同的數值時(shí)，冪函數的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數的值域總是大于0的實(shí)數。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數，函數的值域為非零的實(shí)數。而只有a為正數，0才進(jìn)入函數的值域。

　　性質(zhì)：

　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。

　　當指數n是負整數時(shí)，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實(shí)數;

　　排除了為0這種可能，即對于x<0和x>0的所有實(shí)數，q不能是偶數;

　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數，a就不能是負數。

　　總結起來(lái)，就可以得到當a為不同的數值時(shí)，冪函數的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實(shí)數，則函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數的定義域還必須根據q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數，則x不能小于0，這時(shí)函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;如果同時(shí)q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實(shí)數。

　　在x大于0時(shí)，函數的值域總是大于0的實(shí)數。

　　在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數，函數的值域為非零的實(shí)數。

　　而只有a為正數，0才進(jìn)入函數的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況。

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

　　(2)當a大于0時(shí)，冪函數為單調遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數為單調遞減函數。

　　(3)當a大于1時(shí)，冪函數圖形下凹;當a小于1大于0時(shí)，冪函數圖形上凸。

　　(4)當a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函數過(guò)(0，0);a小于0，函數不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

　　(6)顯然冪函數無(wú)界。