如何學(xué)好高中數學(xué)競賽

　　一、競賽簡(jiǎn)介

　　1.全國高中數學(xué)聯(lián)賽

　　全國高中數學(xué)聯(lián)賽旨在選拔在數學(xué)方面有突出特長(cháng)的同學(xué)，讓他們進(jìn)入全國知名高等學(xué)府，而且選拔成績(jì)比較優(yōu)異的同學(xué)進(jìn)入更高級別的競賽，直至國際數學(xué)奧林匹克（IMO）。并且通過(guò)競賽的方式，培養中學(xué)生對于數學(xué)的興趣，讓學(xué)生們愛(ài)好數學(xué)，學(xué)習數學(xué)，激發(fā)學(xué)生們的鉆研精神，獨立思考精神以及合作精神。

　　2.中國數學(xué)奧林匹克（CMO）

　　冬令營(yíng)邀請各省、自治區、直轄市全國高中數學(xué)聯(lián)賽中的優(yōu)勝者，以及香港、澳門(mén)、俄羅斯、新加坡等代表隊參加，人數200人左右(現擴大為300人左右)，分配原則是每省市區至少三人，然后設立分數線(xiàn)擇優(yōu)選取。冬令營(yíng)為期5天，第一天為開(kāi)幕式，第二、第三天考試，第四天學(xué)術(shù)報告或參觀(guān)游覽，第五天閉幕式，宣布考試成績(jì)和頒獎。

　　CMO考試完全模擬IMO進(jìn)行，每天3道題，限四個(gè)半小時(shí)完成。每題21分（為IMO試題的3倍，為符合中國人的認知習慣），6個(gè)題滿(mǎn)分為126分。題目難度較國際數學(xué)奧林匹克為高，技術(shù)性極強。頒獎與IMO類(lèi)似，設立一、二、三等獎，分數最高的約前30名選手將組成參加當年國際數學(xué)奧林匹克（International Mathematical Olympiad，簡(jiǎn)稱(chēng)IMO）的中國國家集訓隊。 獲獎選手都可以取得北京大學(xué)、清華大學(xué)、復旦大學(xué)、南京大學(xué)、中國科技大學(xué)、浙江大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國一流的名牌大學(xué)的錄取資格。

　　3.國際數學(xué)奧林匹克（IMO）

　　國際數學(xué)奧林匹克(International Mathematical Olympiad，簡(jiǎn)稱(chēng)IMO)是世界上規模和影響最大的中學(xué)生數學(xué)學(xué)科競賽活動(dòng)。

　　正如專(zhuān)家們指出：IMO的重大意義之一是促進(jìn)創(chuàng )造性的思維訓練，對于科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，這種訓練尤為重要。數學(xué)不僅要教會(huì )學(xué)生運算技巧，更重要的是培養學(xué)生有嚴密的思維邏輯，有靈活的分析和解決問(wèn)題的方法。[5]

　　國際數學(xué)奧林匹克競賽對于促進(jìn)中學(xué)數學(xué)教育的改革，激發(fā)青少年對數學(xué)的學(xué)習興趣，選拔優(yōu)秀的數學(xué)人才等都起到了越來(lái)越大的作用，受到人們的普遍重視。數學(xué)奧林匹克傳統將永遠發(fā)揚光大。

　　二、數學(xué)競賽的意義

　　與其他學(xué)科競賽一樣，學(xué)習數學(xué)競賽除了能在升入高校方面獲得保送或降分的優(yōu)惠外，還能培養學(xué)生的自主學(xué)習能力，這對學(xué)生的整個(gè)大學(xué)學(xué)習乃至今后的學(xué)術(shù)研究或是社會(huì )工作是尤為重要的。

　　此外數學(xué)競賽學(xué)到一定深度后就會(huì )發(fā)現，數學(xué)競賽不再是由知識結構和解題方法組成，而是對思維能力的培養和運用，而思維能力的價(jià)值是遠超過(guò)數學(xué)本身的，這將會(huì )對學(xué)生以后對問(wèn)題的思考與對事物的判斷等產(chǎn)生不可估量的影響。

　　三、關(guān)于學(xué)員選擇

　　不是所有學(xué)生都可以學(xué)數學(xué)競賽，要想學(xué)習數學(xué)競賽必須同時(shí)具備以前條件：

　　1、高考數學(xué)可以輕松應對；

　　2、對數學(xué)競賽有興趣，自發(fā)選擇學(xué)習數學(xué)競賽；

　　3、具備自主學(xué)習能力；

　　4、高考涉及的其他學(xué)科不存在太大問(wèn)題，或個(gè)人的競賽前景遠優(yōu)于高考前景。

　　四、學(xué)習數學(xué)競賽的方法

　�。ㄒ唬┤珖�聯(lián)賽一試

　　此模塊立足于高考又高于高考，題目難時(shí)間短，要想攻克此模塊需在鞏固高考基礎的前提下多做難題并分析總結，輔之以足夠的模擬訓練。

　�。ǘ�）全國聯(lián)賽二試、CMO、IMO

　　全國聯(lián)賽二試、CMO、IMO都是依據中國數學(xué)會(huì )普及工作委員會(huì )于2006年8月制定競賽大綱命題的，這也是數學(xué)競賽的核心部分。

　　1. 思維啟迪

　　數學(xué)競賽與高考數學(xué)的差異不只是在命題大綱上，更表現在思維方式上。如果說(shuō)一個(gè)在數學(xué)方面不是明顯太弱的學(xué)生可以通過(guò)大量的難題訓練來(lái)讓自己的高考數學(xué)成績(jì)提高的話(huà)，那么在數學(xué)競賽上這是完全行不通的。從高考數學(xué)到競賽數學(xué)，整個(gè)思維方式和學(xué)習方法的轉變，如果沒(méi)有一位有能力的教練的幫助，必然事倍功半。很多競賽高手在后期的能力都是超越當初的入門(mén)教練的，但是教練在入門(mén)時(shí)提供的如果思考如果分析如果解題如何總結的方法卻尤為重要。

　　2. 專(zhuān)題學(xué)習與思維養成

　　這部分一共分為代數、平面幾何、數論、組合四個(gè)模塊，學(xué)生應當對四塊作專(zhuān)題學(xué)習，并在學(xué)習過(guò)程中熟悉并運用競賽思維。整個(gè)學(xué)習過(guò)程最后可以有教練引導，但學(xué)生的自主學(xué)習意愿與自主學(xué)習能力尤為重要。

　　3. 專(zhuān)題分析與訓練

　　競賽中有很多重要的題型或是模型最好是由教練來(lái)點(diǎn)撥，輔之以足夠的訓練可以收獲良好的效果。

　　4. 賽前模擬

　　賽前模擬的意義不言自明。

　　五、全國高中數學(xué)聯(lián)賽、CMO、IMO大綱

　　全國高中數學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學(xué)數學(xué)教學(xué)大綱》。

　　全國高中數學(xué)聯(lián)賽（二試）在知識方面有所擴展，適當增加一些教學(xué)大綱之外的內容，所增加內容是：

　　1．平面幾何

　　幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

　　三角形旁心、費馬點(diǎn)、歐拉線(xiàn)；

　　幾何不等式；

　　幾何極值問(wèn)題；

　　幾何中的變換：對稱(chēng)、平移、旋轉；

　　圓的冪和根軸：

　　面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法。

　　2．代數

　　周期函數，帶絕對值的函數；

　　三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數；

　　遞歸，遞歸數列及其性質(zhì)，一階、二階線(xiàn)性常系數遞歸數列的通項公式；

　　第二數學(xué)歸納法；

　　平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數及其應用；

　　復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；

　　多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*；

　　n次多項式根的個(gè)數，根與系數的關(guān)系，實(shí)系數多項式虛根成對定理；

　　函數迭代，求n次迭代*，簡(jiǎn)單的函數方程*。

　　3．初等數論

　　同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無(wú)窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

　　4．組合問(wèn)題

　　圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恒等式；

　　組合計數，組合幾何；

　　抽屜原理；

　　容斥原理；

　　極端原理；

　　圖論問(wèn)題；

　　集合的劃分；

　　覆蓋；

　　平面凸集、凸包及應用*。

　　(有*號的內容加試中暫不考，但在CMO、IMO中可能考。)