第三屆北京高中數學(xué)知識應用競賽初賽

第三屆北京高中數學(xué)知識應用競賽初賽

試題     　　1.根據國家版權局《書(shū)籍稿酬暫行規定》，書(shū)籍稿酬由基本稿酬和印數稿酬組成。 　　基本稿酬的標準為：（1）著(zhù)作稿酬每千字10至30元，確有學(xué)術(shù)價(jià)值的，可適當提高，但每千字不超過(guò)40元；（2）詞書(shū)稿有兩種計酬方法：其一是按一般著(zhù)作稿標準另加15%至20%計算（詞條書(shū)目）；其二是按每千字20元至30元計算，另增加20%至30%的基本稿酬（百科全書(shū)詞條）。 　　印數稿酬的標準為：（1）一般書(shū)籍，印數在一萬(wàn)冊以?xún)鹊�，以一萬(wàn)冊計算付基本稿酬的8%。印數超過(guò)一萬(wàn)冊的，其超過(guò)部分每千冊付基本稿酬的0.8%。（2）確有學(xué)術(shù)價(jià)值而印數較少的專(zhuān)著(zhù)，印數在一萬(wàn)冊以?xún)鹊�，以一萬(wàn)冊計算付基本稿酬的30%，印數超過(guò)一萬(wàn)冊的，計算方法同（1）。 　　根據以上內容，解答下列問(wèn)題。 　�。�1） 若印x 千冊，試寫(xiě)出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函數關(guān)系式； 　�。�2） 若王教授出版了一本25.4萬(wàn)字的書(shū)，印數1.8萬(wàn)冊，試計算他可獲得的最高稿酬和最低稿酬。 　　2． 小童的父親要到美國訪(fǎng)問(wèn)，受人之托希望多帶點(diǎn)東西。中國民航的《國際旅客須知》中有關(guān)規定："計件免費行李額"中規定"適用中美、中加國際航線(xiàn)上的行李運輸……。經(jīng)濟和旅游折扣票價(jià)，免費交運的行李數為兩件，每件箱體三邊之和不超過(guò)62英寸（158厘米），但兩件之和不得超過(guò)107英寸（273厘米），每件最大重量不得超過(guò)32公斤。"試問(wèn)這兩個(gè)箱子的長(cháng)、寬、高各為多少可達最大體積？ 　　請到市場(chǎng)上看看，商店出售的行李箱的尺寸與你計算所得結果是否近似？為什么？ 　　3． 今年年初由中國建設銀行北京市分行印發(fā)的《個(gè)人住房貸款簡(jiǎn)介》的小冊子中介紹了有關(guān)個(gè)人住房貸款的有關(guān)問(wèn)題。其中指明貸款額最高為擬購買(mǎi)住房費用總額的70%；貸款期限最長(cháng)為20年。個(gè)人住房貸款利率如附表1所示。借款人在借款期內每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。附表2列出了不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負擔總和。試給出公式說(shuō)明附表2中后三列數是如何算出來(lái)的。 　　近年來(lái)國務(wù)院批準，中國人民銀行決定從1999年9月21日起，延長(cháng)個(gè)人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮居民購房。各商業(yè)銀行個(gè)人住房貸款的最長(cháng)期限由現行的20年延長(cháng)到30年。每筆貸款年限由商業(yè)銀行依據借款個(gè)人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協(xié)商確定。個(gè)人住房款年利率最高水平降為5.88%。并根據貸款期限劃分為兩個(gè)檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31，5年以上為年利率5.88%。 　　請你根據新規定計算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負擔總和，并與原附表2中的同期貸款的負擔情況比較，住房貸款的負擔各降低了多少。 　　 附表1 中國建設銀行北京分行個(gè)人住房貸款利率表   貸款期 月利率(‰) 年利率（%） 1年（含）以下 5.10 6.12 1 ~ 3（含）年 5.325 6.39 3 ~ 5（含）年 5.55 6.66 5 ~ 10（含）年 6.00 7.20 10 ~ 20（含）年 6.30 7.56 　　 　　 附表2 中國建設銀行北京分行個(gè)人住房貸款1~20年月均還款金額表 　　　�。ń杩铑~為壹萬(wàn)元）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　單位：元 貸款期限（年） 年利率（%） 還款總額 利息負擔總和 月均還款額 1 6.12 10612.00 612.00 一次還本付息 ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ 5 6.66 11784.60 1784.60 196.41 ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ 20 7.56 19423.20 9423.20 80.93   　�。ū颈碜�1998年12月7日起執行） 　　4． 某化工廠(chǎng)從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現狀生產(chǎn)，每月收入為70萬(wàn)元，同時(shí)將受到環(huán)保部門(mén)的處罰，第一個(gè)月罰3萬(wàn)元，以后逐月遞增2萬(wàn)元。如果從今年一月起投資500萬(wàn)元增加回收凈化設備（改造設備時(shí)間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本。據測算投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計凈收入是生產(chǎn)時(shí)間 n（以月為單位）的二次函數，生產(chǎn)前1、前2、前3個(gè)月的累計收入分別可達101萬(wàn)元、204萬(wàn)元和309萬(wàn)元，以后穩定在第5個(gè)月的水平。同時(shí)該廠(chǎng)不但不受罰，而且還將得到環(huán)保部門(mén)一次性100萬(wàn)元的獎勵。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少個(gè)月，投資開(kāi)始見(jiàn)效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入。 　　5． 據世界人口組織公布，地球上的人口在公元元年為2.5億，1600年為5億，1830年為10億，1930年為20億，1960年為30億，1974年為40億，1987年為50億，到1999年底，地球上的人口數達到了60億。請你根據20世紀人口增長(cháng)規律推測，到哪年世界人口將達到100億？到2100年地球上將會(huì )有多少人口？ 　　6． 國慶慶典活動(dòng)的中心廣場(chǎng)有數萬(wàn)名學(xué)生手持圓花組成大型圖案方陣，方陣前排距觀(guān)禮臺120米，方陣縱列95人，每列長(cháng)度192米，問(wèn)第一、二排間距多大能達到滿(mǎn)意的觀(guān)禮效果？ 　　7． 在某1000個(gè)人中有10個(gè)人患有一種病，現要通過(guò)驗血把這10個(gè)病人查出來(lái)，若采用逐個(gè)人化驗的方法需化驗999次，（這里所需化驗次數是指在最壞情況下化驗次數，如果碰巧，可能首先化驗的10個(gè)人全是病人，10次化驗就夠了。下面討論的化驗次數均指最壞情況下的化驗次數）。 　　為了減少化驗次數，人們采用分組化驗的辦法，即把幾個(gè)人的血樣混在一起，先化驗一次，若化驗合格，則這幾個(gè)人全部正常，若混合血樣不合格，說(shuō)明這幾個(gè)人中有病人，再對它們重新化驗（逐個(gè)化驗，或再分成小組化驗）。 　　試給出一種分組化驗方法使其化驗次數盡可能地小，不超過(guò)100次。 　　 參考解答 1.解　(1) 　　 　　 　　 　　　　 　�。�2）此時(shí)x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ，因此此書(shū)25.4萬(wàn)字（254千字），所以最高稿酬為 65.472×254=16629.888≈16629.89（元），最低稿酬為11.44×254=2095.76 （元） 　　2．解 設長(cháng)、寬、高分別為a,b,c 顯然a>0,b>0,c>0. 若a+b+c 一定（≤158）, 根據a+b+c≥ ,當且僅當a=b=c 時(shí)等號成立，因此箱子為正方體時(shí)體積最大。 　　設兩個(gè)正方體箱子的邊長(cháng)分別為a,b,(a>0,b>0). 由條件知 3(a+b)≤273,，為求最大取等號，故得 　　　　　 　　　　　　　a+b=91 　　設 代入b=91-a ，則 顯然，當 時(shí)， 有最小值，且 　　 　　根據題意及上述，要在 且a+b=91 ，即 ， 的條件下求f(a) 的最大值，而 ,于是得 　　兩個(gè)箱子的邊長(cháng)分別為　 厘米和　 厘米時(shí)，其體積之和為最大。即為： 　　 　　市場(chǎng)調查思考： 　�、� 商店出售的箱子三邊長(cháng)與計算所得誤差很大，原因： 　�。�1） 正方體箱子不易攜帶。 　�。�2） 正方體箱子容量大，但易超重。 　�、� 很多貨運箱的形狀與手提行李箱相比，近似于正方體，因為貨運箱可更多地考慮其容積問(wèn)題。 　　3．解 設貸款額（本金）為A（元），貨款期限為n（月），月利率為 ，月均還款額為B，令 　　　為第k 個(gè)月末還款后的本利金額，則 　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　　 根據題意，當k=n 時(shí)， 　　,于是 　　 　　例如貸款期5年時(shí)， 　　由 　　　　元，得 　　 　　還款總額 60B=11784.60，利息負擔總額60B-A=1784.60 ，得到附表2上相應的值。 　　降低貨款利率后， 　　 　　月均還款 　　 　　總還款 60B=11408.4，總利息60B-A=1408.4 ，與原附表2中的同期貨款的負提相比，每月少交6.27 元。一共少負擔376.2 元。 　　對于n>60（10年），　　　　, 同理可得 　　20年，月均還款69.24,總還款16617.6,總利息6617.6,與原來(lái)比，每月省11.69元，共省2805.6元。 　　4．解 設不改造設備，按原條件生產(chǎn)，n 個(gè)月累計收入為a(n)，改造設備后生產(chǎn)，n個(gè)月累計收入為b(n)。由已知條件a(n)=70n，且可設　　于是 　　　　 101=b(1)=a+b+c 　　　　 204=b(2)=4a+2b+c 　　　　 309=b(3)=9a+3b+c 　　解此方程組，得到a=1, b=100, c=0 于是 　　　　 　　　　 　　經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計算可以發(fā)現，5個(gè)月內投資不能見(jiàn)效。這是因為 　　　　 b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11], 　　令 　b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] ，　　　　(n>5), 　　即　　　　, 　化簡(jiǎn)得 　　　　　　 　　當時(shí) 　　　　　　 　　當時(shí) 　　　　　　 　　所以，經(jīng)過(guò)9個(gè)月投資才可見(jiàn)效。 　　5．解 題目中的數據均為大致時(shí)間，粗略估計的量，帶有較多的誤差。因此尋找人口增長(cháng)規律時(shí)不需要，也不應該過(guò)分強調規律與數據完全吻合。數據中20世紀以前的人口資料更加粗略，況且人口的預報準確程度主要受到20世紀人口增長(cháng)規律的影響，因而組建預報模型時(shí)，不必要考慮20世紀以前的數據資料，在20世紀人口增長(cháng)速度是逐漸變快的，因此用直線(xiàn)變化（勻速增長(cháng)）建模做預報是不恰當的；做為人口增長(cháng)的模型，一般可以使用指數關(guān)系　　 ，其中N(t) 為t 時(shí)人口數，a,r 為參數。 　　將 式取對數可得 它是關(guān)于t 的線(xiàn)性模型，這里 ln為以e底的對數。利用1930~1999年的數據可以得到lna=-28.33,r=0.0162, 模型為　　　　　　　　　(億)　(1930≤t≤1999) 　　模型的擬合效果為 （人口單位：億） 　　年　代　　1930 　　1960　　1974　　1987　　1999 　　人口數　　20　　　30　　　40　　　50　　　60 　　擬合數　　19.49　　31.70　39.78　49.11　56.61 擬合效果較好，可用于預報。 　　令N(t)=100 ，可求出t=2030.84 ，故可知如果照此規律大約在2031年世界人口將達到100億，而于2100年世界人口將達到307億。 　　6．解 下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的解法，但它是較粗糙的，不過(guò)也實(shí)用。 　　所謂滿(mǎn)意，可以認為從觀(guān)禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分是一樣的。 　　　　 　　設觀(guān)禮者居高a 米，從觀(guān)禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分高度為b 米。 　　依題意，每列從第一個(gè)人到最后一個(gè)人（第95人）有94個(gè)間空，列長(cháng)192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。 　　為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設位于192米長(cháng)的隊列中點(diǎn)前后的兩人間隔是2米，則 　　　　　　 　　設第一、二排間距為 x米，則 　　　　　　 　　于是， 　�。�米）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　7．解　我們給出如下的方法： 　　從1000人中任取64人，把他們的血樣混合化驗（一般地，n 個(gè)人中有k 個(gè)病人，令s 使，則從n 個(gè)人中任取　 個(gè)人一組，當n=1000 ，k=10 時(shí)， 　　若這64人混合血樣合格（化驗是陰性），則這64個(gè)人正常，可排除，無(wú)需再化驗，再從剩下未化驗的人中任取64個(gè)人，混合血樣化驗。 　　若這64人混合血樣不合格（化驗呈陽(yáng)性），說(shuō)明這64人中有病人。把這64個(gè)人，分為兩組，每組32人。 　　任取一組的混合血化驗，即可確定有病人的一組。（即只需化驗一次，若化驗的這組血樣成陰性，則病人在另一組。若化驗的這組血樣成陽(yáng)性，這組有病人，但此時(shí)，另一組也可能有病人）。作為最壞的可能情形，我們無(wú)法保證另一組的32人中沒(méi)有病人，故選定有病人的一組后，把另一組人退回到未化驗的人群中去。 　　把有病人的這組32人，再分為兩組，每組16人，重復上述過(guò)程。即化驗一次，確定有病人的一組，把另一組退回到未化驗的人群中。 　　依次下去，直到找到一個(gè)病人為止。至此一共化驗了7次。 　　再從未化驗的人中任取64人重復上述過(guò)程。 　　總之，對每次64人混合血化驗成陽(yáng)性的，通過(guò)7次化驗可找到1個(gè)病人，由于共有10個(gè)病人，因此，這樣的情形，化驗次數不超過(guò)7×10=70 次。對每次64人混合血化驗成陰性的，由于1000=15×64+40 ，化驗次數不超過(guò)15次。 　　故總的化驗次數不超過(guò)70+15=85次。