高中數學(xué) 圓的周長(cháng)計算公式

高中數學(xué) 圓的周長(cháng)計算公式

在古代，這個(gè)問(wèn)題幾乎是依賴(lài)于對實(shí)驗的歸納。人們在經(jīng)驗中發(fā)現圓的周長(cháng)與直徑有著(zhù)一個(gè)常數的比，并把這個(gè)常數叫做圓周率(西方記做π)。于是自然地，圓周長(cháng)就是：C = π ×d 或者C=2×π×r(其中d是圓的直徑，r是圓的半徑)。

圓周率

后來(lái)的數學(xué)家們就想辦法算出這個(gè)π的具體值，數學(xué)家劉徽用的是“割圓術(shù)”的方法，也就是用圓的內接正多邊形和外切正多邊形的周長(cháng)逼近圓周長(cháng)，求得圓接近192邊型，求得圓周率大約是3.14。[1]

割圓術(shù)的大致方法在中學(xué)的數學(xué)教材上就有。然而必須看到，它很大程度上只是計算圓周率的方法，而圓周長(cháng)是C = π * d似乎已經(jīng)是事實(shí)了，這一方法僅僅是定出π的值來(lái)。仔細想想就知道這樣做有問(wèn)題，因為他們并沒(méi)有從邏輯上證明圓的周長(cháng)確實(shí)正比于直徑，更進(jìn)一步說(shuō)他們甚至對周長(cháng)的概念也僅是直觀(guān)上的、非理性的。

圓周率的推導過(guò)程

真正從理論上嚴密推導圓的周長(cháng)必須依賴(lài)近代的分析數學(xué)，包括微積分的使用才行。

推導圓周長(cháng)最簡(jiǎn)潔的辦法是用積分。

在平面直角坐標下圓的方程是：

這可以寫(xiě)成參數方程：

x = r * Cos t

y = r * Sin t

t∈[0, 2π]

于是圓周長(cháng)就是

C = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt，t從0積到2π.

結果自然就是C = 2π * r

(注：三角函數一般的定義是依賴(lài)于圓的周長(cháng)或面積的，為了避免邏輯上的循環(huán)論證，可以把三角函數按收斂的冪級數或積分來(lái)定義而不依賴(lài)于幾何，此時(shí)圓周率就不是由圓定義的常數，而是由三角函數周期性得到的常數)