高中數學(xué)學(xué)習指導：數學(xué)歸納法

　　數學(xué)歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類(lèi)事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類(lèi)事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類(lèi)事物的全部對象后歸納得出結論來(lái)。

　　數學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數有關(guān)的數學(xué)命題的一種推理方法，在解數學(xué)題中有著(zhù)廣泛的應用。它是一個(gè)遞推的數學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎，第二步是假設在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(或n≥n且n∈N)結論都正確”。由這兩步可以看出，數學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進(jìn)行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現目標完成解題。

　　運用數學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數n有關(guān)的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。

　　常見(jiàn)數學(xué)歸納法及其證明方法(一)第一數學(xué)歸納法

　　一般地，證明一個(gè)與正整數n有關(guān)的命題，有如下步驟

　　(1)證明當n取第一個(gè)值時(shí)命題成立，對于一般數列取值為1，但也有特殊情況，

　　(2)假設當n=k(k≥[n的第一個(gè)值]，k為自然數)時(shí)命題成立，證明當n=k+1時(shí)命題也成立。

　　(二)第二數學(xué)歸納法

　　對于某個(gè)與自然數有關(guān)的命題，

　　(1)驗證n=n0時(shí)P(n)成立，

　　(2)假設no<n<k時(shí)P(n)成立，并在此基礎上，推出P(k+1)成立。

　　綜合(1)(2)對一切自然數n(>n0)，命題P(n)都成立，

　　(三)螺旋式數學(xué)歸納法

　　P(n)，Q(n)為兩個(gè)與自然數有關(guān)的命題，

　　假如(1)P(n0)成立，

　　(2)假設P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假設Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，綜合(1)(2)，對于一切自然數n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，

　　(四)倒推數學(xué)歸納法(又名反向數學(xué)歸納法)

　　(1)對于無(wú)窮多個(gè)自然數命題P(n)成立，

　　(2)假設P(k+1)成立，并在此基礎上推出P(k)成立，

　　綜合(1)(2)，對一切自然數n(>n0)，命題P(n)都成立，

　　總而言之：歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法完全歸納法：數學(xué)歸納法就是一種不完全歸納法，在數學(xué)中有著(zhù)重要的地位！