高中數學(xué)解析幾何解題方法

　　高中數學(xué)解析幾何解題方法我們先來(lái)分析一下解析幾何高考的命題趨勢：

　　(1)題型穩定：近幾年來(lái)高考解析幾何試題一直穩定在三(或二)個(gè)選擇題，一個(gè)填空題，一個(gè)解答題上，占總分值的20%左右。

　　(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：其中對直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)知識的考查幾乎沒(méi)有遺漏，通過(guò)對知識的重新組合，考查時(shí)既留意全面，更留意突出重點(diǎn)，對支撐數學(xué)科知識體系的主干知識，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度。近幾年新教材高考對解析幾何內容的考查主要集中在如下幾個(gè)類(lèi)型：

　�、� 求曲線(xiàn)方程(類(lèi)型確定、類(lèi)型未定)；

　�、谥本�(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)題目(含切線(xiàn)題目)；

　�、叟c曲線(xiàn)有關(guān)的最(極)值題目；

　�、芘c曲線(xiàn)有關(guān)的幾何證實(shí)(對稱(chēng)性或求對稱(chēng)曲線(xiàn)、平行、垂直)；

　�、萏角笄�線(xiàn)方程中幾何量及參數間的數目特征；

　　(3)能力立意，滲透數學(xué)思想：一些雖是常見(jiàn)的基本題型，但假如借助于數形結合的思想，就能快速正確的得到答案。

　　(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關(guān)知識的聯(lián)系(如向量、函數、方程、不等式等)，凸現教材中研究性學(xué)習的能力要求。加大探索性題型的分量。

　　在近年高考中，對直線(xiàn)與圓內容的考查主要分兩部分：

　　(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類(lèi)題一般難度不大，但每年必考，考查內容主要有以下幾類(lèi)：

　�、倥c本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線(xiàn)性規劃等)有關(guān)的題目；

　�、趯ΠV光目(包括關(guān)于點(diǎn)對稱(chēng)，關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng))要熟記解法；

　�、叟c圓的位置有關(guān)的題目，其常規方法是研究圓心到直線(xiàn)的間隔.

　　以及其他“標準件”類(lèi)型的基礎題。

　　(2)以解答題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，此類(lèi)題綜合性比較強，難度也較大。

　　預計在今后一、二年內，高考對本章的考查會(huì )保持相對穩定，即在題型、題量、難度、重點(diǎn)考查內容等方面不會(huì )有太大的變化。

　　相比較而言，圓錐曲線(xiàn)內容是平面解析幾何的核心內容，因而是高考重點(diǎn)考查的內容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀(guān)題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線(xiàn)的概念和性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐的位置關(guān)系等，從近十年高考試題看大致有以下三類(lèi)：

　　(1)考查圓錐曲線(xiàn)的概念與性質(zhì)；

　　(2)求曲線(xiàn)方程和求軌跡；

　　(3)關(guān)于直線(xiàn)與圓及圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的題目.

　　選擇題主要以橢圓、雙曲線(xiàn)為考查對象，填空題以?huà)佄锞�(xiàn)為考查對象，解答題以考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系為主，對于求曲線(xiàn)方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學(xué)生的想象能力、分析題目的能力，從而體現解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨考查，總是與直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)相結合的綜合型考題，等軸雙曲線(xiàn)基本不出題，坐標軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現.解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標法以及二次曲線(xiàn)性質(zhì)的運用的命題趨向要引起我們的重視.

　　請同學(xué)們留意圓錐曲線(xiàn)的定義在解題中的應用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質(zhì).從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數方程是研究曲線(xiàn)的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數方程與普通方程互化及等價(jià)變換的數學(xué)思想方法。

　　考查的重點(diǎn)要落在軌跡方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，往往是通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程的聯(lián)立、消元，借助于韋達定理代人、向量搭橋建立等量關(guān)系�？疾轭}型涉及的知識點(diǎn)題目有求曲線(xiàn)方程題目、參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)題目、對癡光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。

　　命題特別留意對思維嚴密性的考查，解題時(shí)需要留意考慮以下幾個(gè)題目：

　　1、設曲線(xiàn)方程時(shí)看清焦點(diǎn)在哪條坐標軸上；留意方程待定形式及參數方程的使用。

　　2、直線(xiàn)的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。

　　3、命題結論給出的方式：搞清題目所給的幾個(gè)小題是并列關(guān)系還是遞進(jìn)關(guān)系。假如前后小題各自有強化條件，則為并列關(guān)系，前面小題結論后面小題不能用；不過(guò)考題經(jīng)常給出的是遞進(jìn)關(guān)系，有(1)、第一問(wèn)求曲線(xiàn)方程、第二問(wèn)討論直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，(2)第一問(wèn)求離心率、第二問(wèn)結合圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)求曲線(xiàn)方程，(3)探索型題目等。解題時(shí)要根據不同情況考慮施加不同的解答技巧。

　　4、題目條件如與向量知識結合，也要留意向量的給出形式：

　　(1)、直接反映圖形位置關(guān)系和性質(zhì)的，如？=0，=( )，λ，以及過(guò)三角形“四心”的向量表達式等；

　　(2)、=λ：假如已知M的坐標，按向量展開(kāi)；假如未知M的坐標，按定比分點(diǎn)公式代進(jìn)表示M點(diǎn)坐標。

　　(3)、若題目條件由多個(gè)向量表達式給出，則考慮其圖形特征(數形結合)。

　　5、考慮圓錐曲線(xiàn)的第一定義、第二定義的區別使用，留意圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)的應用。

　　6、留意數形結合，特別留意圖形反映的平面幾何性質(zhì)。

　　7、解析幾何題的另一個(gè)考查的重點(diǎn)就是學(xué)生的基本運算能力，所以解析幾何考題學(xué)生普遍感覺(jué)較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過(guò)程中，發(fā)現積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對癡規換的技巧，構造對稱(chēng)式用韋達定理代進(jìn)的技巧，構造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。

　　8、平面解析幾何與平面向量都具有數與形結合的特征，所以這兩者多有結合，在它們的知識點(diǎn)交匯處命題，也是高考命題的一大亮點(diǎn).直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系題目是�？汲Ｐ�、經(jīng)久不衰的一個(gè)考查重點(diǎn)，另外，圓錐曲線(xiàn)中參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對癡光目等綜合性題目也是高考的�？碱}型.解析幾何題一般來(lái)說(shuō)計算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個(gè)綜合性較強的題目，對考生的意志品質(zhì)和數學(xué)機智都是一種考驗，是高考試題中區分度較大的一個(gè)題目，有可能作為今年高考的一個(gè)壓軸題出現.

　　例1已知點(diǎn)A(-1，0)，B(1，-1)和拋物線(xiàn).，O為坐標原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M、P，直線(xiàn)MB交拋物線(xiàn)C于另一點(diǎn)Q，如圖.

　　(1)若△POM的面積為，求向量與的夾角。

　　(2)試證實(shí)直線(xiàn)PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

　　高考命題雖說(shuō)千變萬(wàn)化，但只要找出相應的一些規律，我們就大膽地猜想高考解答題命題的一些思路和趨勢，指導我們后面的溫習。對待高考，我們應該采取正確的態(tài)度，再大膽猜測的同時(shí)，更要注重基礎知識的進(jìn)一步鞏固，多做一些簡(jiǎn)單的綜合練習，進(jìn)步自己的解題能力.

　　一、高考溫習建議：

　　本章內容是高考重點(diǎn)考查的內容，在每年的高考考試卷中占總分的15%左釉冬分值一直保持穩定，一般有2-3道客觀(guān)題和一道解答題。選擇題、填空題不僅重視基礎知識和基本方法，而且具有一定的靈活性與綜合性，難度以中檔題居多，解答題注重考生對基本方法，數學(xué)思想的理解、把握和靈活運用，綜合性強，難度較大，常作為把關(guān)題或壓軸題，其重點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，求曲線(xiàn)方程，關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的最值題目�？疾閿敌谓Y合、等價(jià)轉換、分類(lèi)討論、函數與方程、邏輯推理諸方面的能力，對思維能力、思維方法的要求較高。

　　近幾年，解析幾何考查的熱門(mén)有以下幾個(gè)

　　――求曲線(xiàn)方程或點(diǎn)的軌跡

　　――求參數的取值范圍

　　――求值域或最值

　　――直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

　　以上幾個(gè)題目往往是相互交叉的，例如求軌跡方程時(shí)就要考慮參數的范圍，而參數范圍題目或者最值題目，又要結合直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系進(jìn)行。

　　總結近幾年的高考試題，溫習時(shí)應留意以下題目：

　　1、重點(diǎn)把握橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義或性質(zhì)

　　這是由于橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義和性質(zhì)是本章的基石，高考所考的題目都要涉及到這些內容，要善于多角度、多層次不斷鞏固強化三基，努力促進(jìn)知識的深化、升華。

　　2、重視求曲線(xiàn)的方程或曲線(xiàn)的軌跡

　　曲線(xiàn)的方程或軌跡題目往往是高考解答題的命題對象，而且難度較大，所以要把握求曲線(xiàn)的方程或曲線(xiàn)的軌跡的一般方法：定義法、直接法、待定系數法、代進(jìn)法(中間變量法)、相關(guān)點(diǎn)法等，還應留意與向量、三角等知知趣結合。

　　3、加強直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系題目的溫習

　　由于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一直為高考的熱門(mén)，這類(lèi)題目常涉及到圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和直線(xiàn)的基本知識點(diǎn)、線(xiàn)段的中點(diǎn)、弦長(cháng)、垂直題目，因此分析題目時(shí)利用數形結合思想和設而不求法與弦長(cháng)公式及韋達定理聯(lián)系往解決題目，這樣就加強了對數學(xué)各種能力的考查，其中著(zhù)力抓好“運算關(guān)”，增強抽象運算與變形能力。解析幾何的解題思路輕易分析出來(lái)，往往由于運算不過(guò)關(guān)中途而廢，在學(xué)習過(guò)程中，應當通過(guò)解題，尋求公道運算方案，以及簡(jiǎn)化運算的基本途徑和方法，親身經(jīng)歷運算困難的發(fā)生與克服困難的完整過(guò)程，增強解決復雜題目的信心。

　　4、重視對數學(xué)思想、方法進(jìn)行回納提煉，達到優(yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。

　　用好方程思想。解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)，因此把直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(cháng)題目利用韋達定理進(jìn)行整體處理，就可簡(jiǎn)化解題運算量。

　　用好函數思想，把握坐標法。

　　二、知識梳理

　　●求曲線(xiàn)方程或點(diǎn)的軌跡

　　求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個(gè)熱門(mén)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng )新意識為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門(mén)，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的把握程度。

　　下面先容幾種常用的方法

　　(1) 直接法：動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x、粉底液哪個(gè)牌子好y的等式就得到曲線(xiàn)軌跡方程。

　　(2) 定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

　　(3) 幾何法：若所求的軌跡滿(mǎn)足某些幾何性質(zhì)(如線(xiàn)段中垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)性質(zhì)等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進(jìn)點(diǎn)的坐標較簡(jiǎn)單。

　　(4) 相關(guān)點(diǎn)法(代進(jìn)法)：有些題目中，某動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著(zhù)另一動(dòng)點(diǎn)(稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn))而運動(dòng)的，假如相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件是明顯的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標表示相關(guān)點(diǎn)坐標，再把相關(guān)點(diǎn)代進(jìn)其所滿(mǎn)足的方程，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

　　(5) 參數法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應滿(mǎn)足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運動(dòng)經(jīng)常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱(chēng)這個(gè)變量為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法。消往參數，即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對動(dòng)點(diǎn)坐標取值范圍的影響。

　　(6) 交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì )出現要求兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡題目，這類(lèi)題目常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數)的坐標，再消往參數求出所求軌跡方程，該法經(jīng)常與參數法并用。

　　●求參數范圍題目

　　在解析幾何題目中，常用到參數來(lái)刻劃點(diǎn)和曲線(xiàn)的運動(dòng)和變化，對于參變量范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉化，需要用函數和變量往思考，因此要用函數和方程的思想作指導，利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數的取值范圍。

　　例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對于直線(xiàn)l： y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn) l 對稱(chēng)。

　　例2、已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1，0)，點(diǎn)P、Q在雙曲線(xiàn)的右支上，點(diǎn)M (m ， 0 ) 到直線(xiàn)AP的間隔為1，

　　(1)若直線(xiàn)AP的斜率為k ，且 ，求實(shí)數 m 的取值范圍

　　(2)當 時(shí)，ΔAPQ的內心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線(xiàn)的方程

　　●值域和最值題目

　　與解析幾何有關(guān)的函數的值域或弦長(cháng)、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數的綜合題目，需要以函數為工具來(lái)處理。

　　解析幾何中的最值題目，一般是根據條件列出所求目標――函數的關(guān)系式，然后根據函數關(guān)系式的特征選用參數法、配方法、判別式法，應用不等式的性質(zhì)，以及三角函數最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可借助圖形，利用數形結正當求最值。

　　例1、如圖，已知拋物線(xiàn) y2 = 4x 的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A 的坐標為(5，0)，傾斜角為π/4的直線(xiàn) l 與線(xiàn)段OA相交(不過(guò)O點(diǎn)或A點(diǎn))，且交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程，并求△AMN的最大面積。

　　●直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系題目

　　1、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系題目，從代數角度轉化為一個(gè)方程組實(shí)解個(gè)數研究(如能數形結合，可借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡(jiǎn)便)。即判定直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線(xiàn)方程帶進(jìn)曲線(xiàn)C的方程，消往y(有時(shí)消往x更方便)，得到一個(gè)關(guān)于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

　　當a=0時(shí)，這是一個(gè)一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。若C為雙曲線(xiàn)，則 l 平行與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)；若C為拋物線(xiàn)，則 l 平行與拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸。所以當直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)可能相交，也可能相切。

　　當 a≠0 時(shí)，若Δ>0 l與C相交

　　Δ=0 l與C相切

　　Δ<0 l與C相離

　　2、涉及圓錐曲線(xiàn)的弦長(cháng)，一般用弦長(cháng)公式結合韋達定理求解。

　　解決弦中點(diǎn)有兩種常用辦法：一是利用韋達定理及中點(diǎn)坐標公式；二是利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上，坐標滿(mǎn)足方程，作差構造出中點(diǎn)坐標和斜率的關(guān)系(點(diǎn)差法)

　　中點(diǎn)弦題目就是當直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，得到一條顯冬進(jìn)一步研究弦的中點(diǎn)的題目. 中點(diǎn)弦題目是解析幾何中的重點(diǎn)和熱門(mén)題目，在高考試題中經(jīng)常出現. 解決圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦題目，“點(diǎn)差法”是一個(gè)行之有效的方法，“點(diǎn)差法”顧名思義是代點(diǎn)作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為：①設出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標；②將端點(diǎn)的坐標代進(jìn)圓錐曲線(xiàn)方程相減；③得到弦的中點(diǎn)坐標與所在直線(xiàn)的斜率的關(guān)系，從而求出直線(xiàn)的方程；④ 作簡(jiǎn)

　　要的檢驗. 本文試圖通過(guò)對一道高考試題解法的探討，談點(diǎn)個(gè)人見(jiàn)解.

　　一、高考試題

　　橢圓C： + = 1(a> b > 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=， |PF2| = .

　　(1) 求橢圓C的方程；

　　(2) 若直線(xiàn)l過(guò)圓x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圓心M，交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，竊讀，B關(guān)于點(diǎn)M對稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程.

　　二、解題思路

　　第(1)題的解法不再贅述，答案是：+ = 1，在此基礎上研究第(2)題的解法.

　　1. 運用方程組的思路

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，已知圓的方程為(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5，所以圓心M的坐標為(-2，1)，從而可設直線(xiàn)l的方程為：y= k(x+ 2)+1.

　　∴y= k(x+ 2)+ 1，+=1.消y得

　　(4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0.

　　∵ A，B關(guān)于點(diǎn)M對稱(chēng)，

　　∴ = - = -2，解得 k =.

　　∴ 直線(xiàn)l的方程為：8x - 9y + 25 = 0.

　　2. 運用“點(diǎn)差法”的思路

　　已知圓的方程為(x+ 2)2+ (y- 1)2= 5，所以圓心M的坐標為(-2，1).

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意x1≠x2且

　　+ = 1(1)+= 1(2)

　　由(1)- (2)得

　　+ = 0(3)

　　由于A(yíng)，B關(guān)于點(diǎn)M對稱(chēng)，所以x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 2，代進(jìn)(3)得 k1 = =，所以，直線(xiàn)l的方程為：8x - 9y + 25 = 0. 經(jīng)檢驗，所求直線(xiàn)方程符合題意.

　　三、對兩種思路的熟悉

　　思路1運算較復雜，尤其是消元得到方程這一步，很多學(xué)生是不能順利過(guò)關(guān)的；思路2運算較簡(jiǎn)潔，學(xué)生易把握. 對于兩種思路都必須分析到：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心，而且圓心是弦的中點(diǎn). 這些方法在考題中經(jīng)常有所涉及.

　　四、對“點(diǎn)差法”的思考

　　1. “點(diǎn)差法”使用條件的反思

　　“點(diǎn)差法”使用起來(lái)較為簡(jiǎn)潔，那么使用“點(diǎn)差法”的條件是什么？

　　假設一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)mx2 + ny2 = 1(n，m是不為零的常數，且不同時(shí)為負數)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，設A(x1，x2)，B(x2，y2)，則mx12 + ny12= 1，mx22 + ny22 = 1， 兩式相減有：m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2). 其中x1+x2與y1 + y2和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標有關(guān)； 為AB的斜率. 由此可見(jiàn)，知道其中一個(gè)可以求出另外一個(gè)，意思是說(shuō)：要用“點(diǎn)差法”，需知道AB的中點(diǎn)和AB的斜率之一才可求另一個(gè). 然后進(jìn)行扼要的檢驗.

　　2. 先容一種處理中點(diǎn)弦題目時(shí)的巧妙的獨到的解法

　　例題 已知雙曲線(xiàn)x2 - = 1，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使得M(1，1)為直線(xiàn)l被雙曲線(xiàn)所截弦AB的中點(diǎn).若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請說(shuō)明理由.

　　由題意得M(1，1)為顯讀B的中點(diǎn)，可設A(1+ s，1+ t)，B(1- s，1- t)，(s，t∈T訂，由于A(yíng)，B，M不重合可知， s，t不全為零. 又點(diǎn)A，B在雙曲線(xiàn)x2-= 1上，將點(diǎn)的坐標代進(jìn)方程得

　　(1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)

　　(1)+ (2) 可得s2= t2 (3)

　　(1)- (2) 可得t = 2s (4)

　　將(4)代進(jìn)(3)可得s= 0，t= 0，不可能，故不存在這樣的直線(xiàn).

　　這里我們回納一下解題思路：

　　已知直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)：ax2 + by2 = 1(a，b使得方程為圓錐曲線(xiàn))相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，設中點(diǎn)為M(m，n)，求直線(xiàn)l方程.

　　解題思路 設A(m+ s，n+ t)，B(m - s，n - t)， (s，t∈T訂，由于A(yíng)，B，M不重合可知，s，t不全為零. 又點(diǎn)A，B在雙曲線(xiàn)ax2 + by2 = 1上，將點(diǎn)的坐標代進(jìn)方程得a(m + s)2- b(n+ t)2= 1， a(m-s)2 - b(n- t)2= 1.解得：ams = bnt，am2 +s2 = bn2 + t2. (由于這里全是字母運算，表達式復雜，不再求出所有的表達式的具體形式，只是談一下思路)進(jìn)一步解出s，t的值，從而知道A，B的坐標，運用兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)l的方程。