復合函數求導公式

　　復合函數怎么求導

　　總的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

　　比如說(shuō)：求ln(x+2)的導函數

　　[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此時(shí)將(x+2)看成一個(gè)整體的未知數x'】 ×1【注：1即為（x+2)的導數】

　　主要方法：先對該函數進(jìn)行分解，分解成簡(jiǎn)單函數，然后對各個(gè)簡(jiǎn)單函數求導，最后將求導后的結果相乘，并將中間變量還原為對應的自變量。

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　　復合函數證明方法

　　先證明個(gè)引理

　　f(x)在點(diǎn)x0可導的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內，存在一個(gè)在點(diǎn)x0連續的函數H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)

　　證明：設f(x)在x0可導，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0

　　因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

　　所以H(x)在點(diǎn)x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

　　反之，設存在H(x),x∈U(x0),它在點(diǎn)x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

　　因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

　　所以f(x)在點(diǎn)x0可導，且f'(x0)=H(x0)

　　引理證畢。

　　設u=φ(x)在點(diǎn)u0可導，y=f(u)在點(diǎn)u0=φ(x0)可導，則復合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

　　證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個(gè)在點(diǎn)u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

　　又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個(gè)在點(diǎn)x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

　　于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

　　因為φ，G在x0連續，H在u0=φ(x0)連續，因此H(φ(x))G(x)在x0連續，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導，且

　　F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

　　證法二：y=f(u)在點(diǎn)u可導，u=g(x)在點(diǎn)x可導，則復合函數y=f(g(x))在點(diǎn)x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

　　證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

　　當Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

　　但當Δu=0時(shí)，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。

　　又因為Δx≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得

　　dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

　　又g(x)在x處連續(因為它可導),故當Δx->0時(shí)，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

　　則lim(Δx->0)α=0

　　最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)