高中數學(xué)轉化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解

　　一、數學(xué)解題中轉化與化歸思想的應用

　　數學(xué)活動(dòng)的實(shí)質(zhì)就是思維的轉化過(guò)程，在解題中，要不斷改變解題方向，從不同角度，不同的側面去探討問(wèn)題的解法，尋求最佳方法。

　　在轉化過(guò)程中，應遵循三個(gè)原則：

　　1、熟悉化原則，即將陌生的問(wèn)題轉化為熟悉的問(wèn)題；

　　2、簡(jiǎn)單化原則，即將復雜問(wèn)題轉化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；

　　3、直觀(guān)化原則，即將抽象總是具體化.

　　策略一：正向向逆向轉化

　　一個(gè)命題的題設和結論是因果關(guān)系的辨證統一，解題時(shí)，如果從下面入手思維受阻，不妨從它的正面出發(fā)，逆向思維，往往會(huì )另有捷徑.

　　例1 ：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不共面的取法共有__________種.

　　A、150 B、147 C、144 D、141

　　分析：本題正面入手，情況復雜，若從反面去考慮，先求四點(diǎn)共面的取法總數再用補集思想，就簡(jiǎn)單多了.

　　10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)取法有 種，其中面ABC內的6個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)都共面有 種，同理其余3個(gè)面內也有 種，又，每條棱與相對棱中點(diǎn)共面也有6種，各棱中點(diǎn)4點(diǎn)共面的有3種， 不共面取法有 種，應選（D）.

　　策略二：局部向整體的轉化

　　從局部入手，按部就班地分析問(wèn)題，是常用思維方法，但對較復雜的數學(xué)問(wèn)題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細節，從系統中去分析問(wèn)題，不單打獨斗.

　　例2：一個(gè)四面體所有棱長(cháng)都是 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積為（ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構造直角三角形去求解，過(guò)程冗長(cháng)，容易出錯，但把正四面體補形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn)，因為正四面體棱長(cháng)為 ，所以正方體棱長(cháng)為1，從而外接球半徑為 ，應選（A）.

　　策略三：未知向已知轉化

　　又稱(chēng)類(lèi)比轉化，它是一種培養知識遷移能力的重要學(xué)習方法，解題中，若能抓住題目中已知關(guān)鍵信息，鎖定相似性，巧妙進(jìn)行類(lèi)比轉換，答案就會(huì )應運而生.

　　例3：在等差數列 中，若 ，則有等式

　�。� 成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數列 中， ，則有等式_________成立.

　　分析：等差數列 中， ，必有 ，故有 類(lèi)比等比數列 ，因為 ，故 成立.

　　二、邏輯劃分思想

　　例題1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求實(shí)數 a 取值的集合.

　　解 A= ： 分兩種情況討論

　�。�1）B=￠，此時(shí)a=0；

　　(2)B為一元集合，B= ，此時(shí)又分兩種情況討論 ：

　　(i) B={-1}，則 =-1，a=-1

　�。╥i）B={1}，則 =1， a=1.（二級分類(lèi)）

　　綜合上述 所求集合為 .

　　例題2、設函數f(x)＝ax －2x＋2，對于滿(mǎn)足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求實(shí)數a的取值范圍.

　　例題3、已知 ，試比較 的大小.

　　【分析】

　　于是可以知道解本題必須分類(lèi)討論，其劃分點(diǎn)為 .

　　小結：分類(lèi)討論的一般步驟：

　�。�1）明確討論對象及對象的范圍P.（即對哪一個(gè)參數進(jìn)行討論）；

　�。�2）確定分類(lèi)標準，將P進(jìn)行合理分類(lèi)，標準統一、不重不漏，不越級討論.；

　�。�3）逐類(lèi)討論，獲取階段性結果.（化整為零，各個(gè)擊破）；

　�。�4）歸納小結，綜合得出結論.（主元求并，副元分類(lèi)作答）.