棱錐的外接球，這樣處理最簡(jiǎn)單！
2016-02-29 09:59:55搜狐教育
小數老師說(shuō)
也可能是小數老師研究北京的題目太多了，最近幾年沒(méi)有看到這種問(wèn)題，不過(guò)既然在微信平臺上有同學(xué)提問(wèn)了，那小數老師就幫這個(gè)同學(xué)整理一下吧！小數老師研究了一下，全國卷考這種題目還是比較多的，但是現在的難度也比小數老師上學(xué)時(shí)的簡(jiǎn)單了很多了！
找了最近的一些題目看了看，棱錐的外接球問(wèn)題一般分為兩類(lèi)：已知棱錐的相關(guān)條件，求外接球的表面積或者體積等；已知棱錐的外接球的一些條件，求棱錐的相關(guān)信息！下面通過(guò)兩道例題來(lái)看一下，這種題目該如何求解！
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1、已知棱錐，求外接圓
例1、已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長(cháng)為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積是
，則球O的表面積是（）
A、4πB、8πC、12πD、16π
解析：本題已知三棱錐的體積與底面邊長(cháng)，求球O的表面積，其實(shí)說(shuō)白了，就是需要找到外接球的半徑，再利用公式就能得出結果了。所以，第一步就是畫(huà)圖，
通過(guò)題目我們可以知道，此三棱錐的底面為等邊三角形，那么就可以知道，如果過(guò)點(diǎn)P向底面做垂線(xiàn)的話(huà)，垂足一定落在三角形ABC的邊BC的高上，也就是圖中的CD上，由于PC是外接球的直徑，因此取中點(diǎn)O，然后找到三角形ABC的外接圓的圓心C’，O’也在CD上，所以能得到OO’垂直于CD，所以OO’與PD平行，且OO’等于PD的一半，PD是三棱錐的高，根據三棱錐的體積就能求出高來(lái)，因此OO’的值也能求出來(lái)，而三角形OO’C是直角三角形，O’C是三角形ABC高的三分之二，因此列出方程，球的半徑就能求了。
具體解題步驟同學(xué)們自己補全吧！
答案選擇：A
例2、已知正四面體ABCD的棱長(cháng)為a，其外接球表面積為S1，內切球表面積為S2，則S1：S2的值為（）
A、3B、
C、9D、
解析：正四面體為載體，同學(xué)們真是沾大光了哈，棱長(cháng)與底邊都相等，其性質(zhì)也特別好，外接球的球心與內切球的球心是一個(gè)，都在正四面體的高上，接下來(lái)畫(huà)圖找幾何性質(zhì)即可。
如圖：點(diǎn)O是正四面體外接球與內切球的球心，并且BO為外接球的半徑，OE為內切球的半徑，三角形BOE為直角三角形，E點(diǎn)為三角形BCD的邊CD上的高BF上的點(diǎn)，并且BE:EF=2：1，所以，根據這些條件進(jìn)行列方程即可求出比值來(lái)。
答案選擇：C
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2、已知外接圓，求棱錐
例3、已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2，AC=
，∠BAC=
，則棱PA的長(cháng)為（）
A、
B、
C、3 D、9
解析：通過(guò)題意，可以得出三棱錐為墻角型的，如圖：
對于墻角型三棱錐，尋找外接球一般采取補形法，也就是以AB,AC,PA為邊做出長(cháng)方體來(lái)，長(cháng)方體的外接球與此三棱錐的外接球相同，而對于長(cháng)方體來(lái)說(shuō)，其外接球的直徑為長(cháng)方體的體對角線(xiàn)，體對角線(xiàn)l與長(cháng)方體的長(cháng)a寬b高c的關(guān)系是：
，通過(guò)此關(guān)系，列方程即可得到結果。
答案選擇：C。
以上就是小數老師給大家的三個(gè)例題，同學(xué)們可以發(fā)現，不管是哪種類(lèi)型，重點(diǎn)是要找到球心，也就是要把三棱錐的幾何性質(zhì)搞清楚，同學(xué)們也不用擔心，現在考試題目都不是很難，大家重點(diǎn)研究正三棱錐，正四面體，和墻角型的三棱錐就足以應對了！加油吧！
有什么想看的，歡迎大家發(fā)信息哈，小數老師精力有限，可能總結的不是那么全面，但是小數老師一定以高考題為參考題型來(lái)分析每個(gè)知識點(diǎn)的哈！
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