2014年北京高考數學(xué)卷解析：重點(diǎn)考查三大能力
來(lái)源：新東方在線(xiàn) 2014-06-08 16:23:32
舉國矚目的2014高考數學(xué)科目的考試已結束，新東方在線(xiàn)高考名師團隊第一時(shí)間對2014高考數學(xué)真題進(jìn)行了點(diǎn)評，希望能對考生、家長(cháng)有所幫助，也希望對2015高考考生提供借鑒。以下是北京新東方高考數學(xué)老師周帥對北京卷2014年數學(xué)真題的解析和點(diǎn)評。
2014高考北京卷文科理科數學(xué)的難度分析
每年高考語(yǔ)文考完之后大家關(guān)注的都是作文是什么，數學(xué)考完之后，所有同學(xué)、全社會(huì )都只關(guān)注一個(gè)問(wèn)題，那就是今年數學(xué)難不難。今年數學(xué)難不難？每年碰到這樣的問(wèn)題都有一個(gè)回答，難度和去年基本持平，對于2014年具體的北京高考數學(xué)的文科和理科來(lái)說(shuō)難度有了哪些變化呢？有哪些需要我們關(guān)注呢？
第一，文科和去年相比難度下降。北京市高考實(shí)行新課標以來(lái)，一直有一道題目叫做“第20題”，第20題壓軸題都特別難，往往是新定義的題目，可能跟數列有關(guān)系，可能跟集合有關(guān)系，部分時(shí)候跟函數也有關(guān)系，這道題特別難，主要是第一不認識，第二沒(méi)時(shí)間，但在2014年北京市高考文科數學(xué)的試題中，20題消失了，這是所有文科同學(xué)都感到很開(kāi)心的事情，今年文科多出了一道大題，是普通的數列計算題，出在了第15題，少了一道，20題沒(méi)有了，取而代之的是20題是導數的題目，很簡(jiǎn)單。
第二，理科跟往年比難度略有增加。題目往年是有一些所謂的表面上的難度增加，舉一個(gè)例子，立體幾何比較詭異，正常情況下，正常年份，立體幾何應該是三問(wèn)，有一問(wèn)垂直證明，有一問(wèn)角度計算和空間探索，今年北京市的理科數學(xué)，相當一部分同學(xué)，包括平時(shí)還不錯的同學(xué)，處理的都不是特別好，所以這是北京市今年理科數學(xué)難度增大的一個(gè)具體的表現。
實(shí)際上是因為題目具體的表現形態(tài)的變化，使得難度增加了，對于同學(xué)們在具體復習考試的時(shí)候，需要注意應該怎么辦？另外一個(gè)問(wèn)題是同學(xué)們關(guān)注比較少的，但是必須跟大家強調的，就是需要求同存異。求同存異指的是文科和理科試卷的關(guān)系，考前沖刺復習的時(shí)候，不太需要做太多的新題目和背太多的公式，一定要看看在最近幾年的考試中，你所在省區的另外一套題目。文科生看看理科的卷子，理科生看看文科的卷子。今年延續了去年文科題目的考法，文科和理科一般不太一樣，難度上不太一樣，這種表面現象差異下的兩個(gè)問(wèn)題，即使考的不太一樣，但是要求的基本知識點(diǎn)和基本能力是一樣的，一會(huì )兒會(huì )通過(guò)題目講這個(gè)。
表面現象不一樣，但是他們之間存在一種相互借鑒或者傳承的關(guān)系，今年理科是去年文科的變形，所以，這對于明年要參加高考的同學(xué)具有特別重要的指導意義。
出題人需要考察我們哪些方面的重要能力？這里有三點(diǎn)：
1.應用性。這是多年以來(lái)，高考數學(xué)改革的一個(gè)重要方向，也是高考命題人在出題時(shí)候的一個(gè)重要參考方向。比如今年北京地區，特別像北京、上海，這樣一些教育資源比較豐富的地區，高考改革走的比較快的地區，往往會(huì )在這方面表現的更加突出一些，北京今年在文科和理科都出現了應用題，不是傳統的應用題，而是更多的把數學(xué)和生活實(shí)踐結合起來(lái)。比如今年爆米花與函數的問(wèn)題，還有NBA總決賽主客場(chǎng)的問(wèn)題，兩個(gè)人比成績(jì)，誰(shuí)比誰(shuí)好，誰(shuí)不比誰(shuí)差，這樣一種題目，其實(shí)不僅需要考查同學(xué)們對于數學(xué)模型的加工和計算能力，更多考察的是我們去關(guān)注生活、了解生活和數學(xué)這樣一種關(guān)系。對于平時(shí)而言是一種重要的學(xué)習習慣，對于考試來(lái)說(shuō)是一種重要的考察方式，接下來(lái)的復習過(guò)程中，同學(xué)們一定要關(guān)注，當然已經(jīng)考過(guò)的同學(xué)，如果關(guān)注到這一些，這種題目處理起來(lái)會(huì )從容一些。
2.基本的數學(xué)能力。在部分比較難的題目當中，比如在今年文科和理科共同的解析幾何大題，19題當中，出現了一些不太正常的計算方式，平時(shí)熟悉的解析幾何題是直線(xiàn)跟曲線(xiàn)聯(lián)立，之后有一個(gè)二次方程，算判別式，代入計算，我們發(fā)現今年考的不是這樣的東西，今年考的是單動(dòng)點(diǎn)。今年第15題，這個(gè)題目的數字和角度并不是我們平時(shí)熟悉的數字和角度，我們發(fā)現在很多時(shí)候，出題人可能在遵循這樣一個(gè)基本思路，叫考查基本的數學(xué)能力，這種能力是什么？這種能力包括你的計算能力，是你的觀(guān)察能力，是你對于圖像的識別能力，空間想象能力，真的不一定是具體題目的解法或者技巧，這是我們需要同學(xué)們在平時(shí)復習的過(guò)程中，需要去重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題，算數字看圖像都會(huì )。說(shuō)到圖像，剛才我們提到了一個(gè)事情，今年理科的立體幾何的題目，很多同學(xué)不太會(huì )算，有一些非建系的問(wèn)題，有同學(xué)看圖看不清楚，關(guān)系看不明白，因為平時(shí)疏于練習，對于圖形不清楚，做起來(lái)相對來(lái)說(shuō)難受一些，考前沖刺的時(shí)候，你甚至可以不關(guān)注一道幾何題目以及具體解法，但是我們一定要了解這個(gè)圖像，以及圖像里面的關(guān)系，出題人如何要求你去看這個(gè)圖像，了解圖像。如果你的基礎足夠好，題目怎么變，對于你來(lái)說(shuō)影響不大，如果基礎不扎實(shí)，只是學(xué)了一些解題方法和技巧，題目一旦發(fā)生變化，處理起來(lái)就會(huì )出現問(wèn)題，可能部分同學(xué)今年可能考的不是特別好，沒(méi)有關(guān)系。碰到一些新問(wèn)題，處理的不那么好，基本功沒(méi)有那么扎實(shí)，沒(méi)關(guān)系，接下來(lái)帶大家練基本功。
3.反題型練習。多年來(lái)我們研究考試的人，我們做題目的人和出題目的人一直存在一個(gè)駁論，這個(gè)駁論叫做題型教學(xué)和反題型練習，有一些固定的題型，學(xué)會(huì )這個(gè)方法解決這種題型，從而拿到考試分數，于是我們會(huì )給學(xué)生，包括學(xué)生自己去做一些考試的預測，我們覺(jué)得今年會(huì )考哪幾個(gè)題目，這幾個(gè)題目你要好好做做，但是后來(lái)我們發(fā)現，往往在部分情況下，我們能夠預測的比較準，因為可能今年剛好輪到考這樣的考法，但在有些題目中，出題人往往會(huì )做一些創(chuàng )新的工作，這種創(chuàng )新正是基于平時(shí)學(xué)生學(xué)習的漏洞，叫做只會(huì )解題方法，而忽略了對于數學(xué)思想的研究，忽略了對于基本功的重視。今年考前我們也給學(xué)生做過(guò)預測，我們預測會(huì )考哪些題目，很明確地說(shuō)，有一些壓中了，因為數學(xué)題目相對來(lái)說(shuō)還是比較好壓中的，確實(shí)有一些固定的套路，也有一些題我們沒(méi)有壓中，出題人可能在題目上做了一些變化，這種變化不僅僅是固定的題型和方法，而是基于基本功的考查，基于命題規律和趨勢的這種對于題目的研究，這也是很多同學(xué)在接下來(lái)復習過(guò)程中，可能會(huì )欠缺，但一定要注意的問(wèn)題。
哪些題目是可能有一些固定的對應的解決方案的？
之前有一些解法必須要會(huì )，是基礎知識，是基本功，哪些題目有一些調整和變化，復習的時(shí)候需要去關(guān)注，我們結合具體的題型來(lái)看看。
1、北京市文科數學(xué)填空題第13題
這道題線(xiàn)性規劃，線(xiàn)性規劃每年必考，不過(guò)有些題目考的相對難一些，這個(gè)題目還好，給出的是一個(gè)確立的不等式組，還有一個(gè)目標函數，做的工作有三步，第一步把平面區域畫(huà)出來(lái)，可行域，第二步把目標函數變成我們熟悉的形式，直線(xiàn)上下平移發(fā)生變化，但很多同學(xué)的問(wèn)題并不是不會(huì )，在大家都會(huì )的情況下，這道題你有沒(méi)有可能做的更快更好一些。如果我們知道有一些題目是基本上確定會(huì )考的，考法穩定，考點(diǎn)清楚，每年的變化比較少，我們需要做的事情就是提高效率，題目中的這句話(huà)“最值一般在交點(diǎn)或者邊界處取得”。什么意思？意思是這個(gè)題目也許以后對于我們來(lái)說(shuō)，就不一定真的需要每道題都畫(huà)圖平移，而是只需要根據題目的不等式組對應的方程組，解出三個(gè)交點(diǎn)，分別代入目標函數，比大小，誰(shuí)大誰(shuí)小一目了然，這樣就能解得更快一些。如果題目確實(shí)你會(huì )，你能不能變的更好。
2、北京市理科數學(xué)第14題
今年的第14題考的是函數。函數性質(zhì)最重要的考法是單調性、對稱(chēng)性結合，只不過(guò)這個(gè)題目加上了一個(gè)東西叫做周期性。這個(gè)題目怎么做？大家看的兩個(gè)等號，這兩個(gè)等號其實(shí)告訴我們的是對稱(chēng)性，我們知道，如果縱坐標相等，橫坐標相加除以2就是對稱(chēng)軸，我們知道如果縱坐標相反，那么橫坐標相加除以2就是對稱(chēng)中心的橫坐標，縱坐標是0。所以這個(gè)題目其實(shí)是用等號告訴我們，這個(gè)函數具有兩種對稱(chēng)性，一個(gè)是軸對稱(chēng)，一個(gè)是中心對稱(chēng)，而如果大家再能聯(lián)想到我們平時(shí)學(xué)過(guò)的基礎知識，基本初等函數，三角函數，y等于sinx，或者y等于cosx，它們的對稱(chēng)和周期的關(guān)系的話(huà)，有一個(gè)東西我們在第一輪復習重點(diǎn)講過(guò)，考前又說(shuō)過(guò)一次，如果一個(gè)函數有兩條對稱(chēng)軸，那么相鄰兩條對稱(chēng)軸的距離就是二分之一周期，如果一個(gè)函數有兩個(gè)對稱(chēng)中心，相鄰兩個(gè)對稱(chēng)中心的距離就是二分之一周期，有對稱(chēng)軸，有對稱(chēng)中心，那么距離最近的對稱(chēng)軸和對稱(chēng)中心之間的距離就是周期的1/4，只不過(guò)那個(gè)題目是叫sinx，而這個(gè)題目是是sinx發(fā)生變化之后的一個(gè)圖形，不過(guò)依然滿(mǎn)足類(lèi)似的性質(zhì)，并且題目專(zhuān)門(mén)為了讓我們確定這個(gè)結果，告訴了我們一個(gè)單調性，要做的工作就是畫(huà)圖。
這個(gè)題目在文科里面也有考，告訴一個(gè)函數圖像，讓我們求相應的值，這個(gè)題目沒(méi)有給圖像，但是我們可以類(lèi)比去畫(huà)一個(gè)大致的圖像，去看出可能的周期。大家看到下面的一行字，叫三角函數的一般性質(zhì)特殊化，其實(shí)高中數學(xué)很大程度上考一個(gè)東西，請大家記住我說(shuō)的這句話(huà)：叫做利用特殊情況，研究一般性質(zhì)，這是我們的研究方法。而在考試里面具體題目的形態(tài)，就是給出一個(gè)特殊的具體的函數讓你去研究它的一般性質(zhì)，所以它是一個(gè)，從我們學(xué)過(guò)的sinx—具體，到一般的，然后再到更加具體的，了解了這個(gè)過(guò)程，你就知道出題人是怎么想的，從另外意義上就是我們所說(shuō)的重要考點(diǎn)，單調性和對稱(chēng)性結合的這樣一種考法，這就是考試的穩定性，但是形式上會(huì )有一些變化。
3、北京市理科數學(xué)第15題
北京市高考數學(xué)從2010年以來(lái)，基本上在15題里面考的是三角函數的函數性質(zhì)，求周期，求最值和單調區間，只有在2013年理科數學(xué)的15題考了一道解三角形的題目，我們預測這個(gè)趨勢可能會(huì )延續，果不其然，在今年理科數學(xué)15題依然考的解三角形，這是第一個(gè)。在考前我們做過(guò)第二個(gè)預測，解三角形的普通考法，三角形ABC，邊a，b，c，沒(méi)什么可算的，同學(xué)們記得一個(gè)口訣，叫兩角用正弦，單角用余弦，如果題目只有一個(gè)角，用這個(gè)角的正弦寫(xiě)面積公式，余弦寫(xiě)邊長(cháng)關(guān)系。但是這個(gè)題目出現了變化，當時(shí)跟同學(xué)們說(shuō)，三角形ABC依然存在，但一定會(huì )出現一些新的點(diǎn)和線(xiàn)，當時(shí)我跟大家說(shuō)的是出現角平分線(xiàn)、出現中點(diǎn)，很遺憾這點(diǎn)我沒(méi)有預測得特別準確，這里要跟同學(xué)們道個(gè)歉，但是D點(diǎn)還是出現了，并且它給的不是角平分線(xiàn)和中點(diǎn)，而是更加的邊長(cháng)和角度，因此我們要做的事件只有一件，在三角形ABC，ABD，ACD中分別使用正弦和余弦定理，新的D點(diǎn)以后，圖中一定有兩個(gè)角互補，兩個(gè)角互補，正弦相等，余弦互為相反數，分別使用正弦和余弦定理，一定可以求出來(lái)，這是一定會(huì )考的基本功，你必須要了解。
第二點(diǎn)是我們在所有三角函數也好，解三角形也罷，跟大家強調過(guò)一個(gè)重要問(wèn)題，叫做多值性，而多值性依然延續了去年的考法，同學(xué)們做過(guò)2013年北京高考理科數學(xué)15題，求邊長(cháng)的題目，算出了兩個(gè)數字，舍去了一個(gè)，今年的題目依然利用余弦求邊長(cháng)，出現不同結果，最后需要檢驗和判斷，這個(gè)題目為什么有些同學(xué)今年做的時(shí)候感覺(jué)不是那么好，考試結束后跟我說(shuō)，老師今年三角題目你壓中了，但是數字不是特別好算，因為平時(shí)我們已經(jīng)習慣一些30度、60度90度這樣的特殊角，今年出現了1/7這樣的數字，有同學(xué)就不愿意算了，因此平時(shí)要多練一些基本功�？荚囀欠�定的，固定考點(diǎn)就那么多，考法要調整，你需要適應這種考法，怎么適應？要多練練基本功，平時(shí)關(guān)注，考試就不著(zhù)急。
4、北京市理科數學(xué)第18、19題
這些題目可能難一些，對于大部分同學(xué)來(lái)說(shuō)都是如此，正常情況下，除了像今年理科的20題，可能對于大部分同學(xué)來(lái)說(shuō)稍微難一些的題目，18、19題，函數和解析幾何，這個(gè)題目最開(kāi)始提到的是文科數學(xué)和理科數學(xué)的求同存異的關(guān)系。在2013年北京市的文科數學(xué)的導數大題里出現一個(gè)三角函數，今年在理科數學(xué)果然也出現了三角函數，為什么考三角函數，第一因為它很重要，第二因為它出現了一些變化，這種變化對于所有同學(xué)來(lái)說(shuō)，都是一樣的，但有些同學(xué)考前如果準備了一下，處理就會(huì )更從容一些，有些同學(xué)會(huì )在考試的時(shí)候搞的措手不及，三角函數判斷正負和求值，之間沒(méi)有什么區別，類(lèi)型是一回事，所以這道題目對于我們來(lái)說(shuō)，其實(shí)你發(fā)現某種意義上講，他并不是我們熟悉的常規的倒數大題，這就是變化更多的一些地方，這種題目有沒(méi)有穩定性，不再像以前題目的那樣，給出一個(gè)函數解題式，決定函數的單調區間和最值，這個(gè)題目形式上變成了三角函數，第二他甚至連參數都沒(méi)有看見(jiàn)，這是我要跟同學(xué)們強調的另外一個(gè)東西。多年來(lái)我們學(xué)函數倒數幾乎只學(xué)一個(gè)東西，叫做討論，求倒，另外畫(huà)一個(gè)圖像，列一個(gè)表，然后當當，討論A在不同的情況下，函數有不同的單調性，是不是？是，但是不是一定是？不一定，函數倒數里面最重要的東西，其實(shí)是倒函數和原函數的關(guān)系，FX到變會(huì )到FX1，需要知道他們的對應關(guān)系，在2013年北京市高考文科和理科數學(xué)里面，盡管考的不一樣，倒數大題都有一個(gè)重要特征，這個(gè)都沒(méi)有，這個(gè)趨勢在今年再一次得到了延續，我們在考研[微博]說(shuō)的今年可能還是不怎么考參數，考一些沒(méi)有參數，但是需要會(huì )算的題目。求證FX小于等于0，在不等號的關(guān)系，一般表現為最值問(wèn)題，沒(méi)有參數有定義的最值問(wèn)題，看似有參數A和B，還是除以X，這個(gè)意義上我發(fā)現大家需要了解另外一個(gè)東西。
接下來(lái)在你們的復習和學(xué)習過(guò)程當中，依然非常重要。函數倒數的討論是基本功，難一些的題目，變化一些的題目，就不再是考討論這樣一個(gè)技能，而是考察你對于倒數工具的深刻理解，倒數是干嘛用的？求完之后應該干什么？不是討論，而是要體現一種轉化關(guān)系，這里體現的是劃歸的東西，說(shuō)白了其實(shí)考察的是我們對于不同類(lèi)型的基本不等函數，你在學(xué)的時(shí)候，也許就需要注意這樣一個(gè)變化，如果有可能，接下來(lái)很多題目還會(huì )這樣考，你是不是應該重視。從這個(gè)題目開(kāi)始，綜合的時(shí)候，出題人更愿意去做一些變化，這個(gè)變化是接下來(lái)我們需要重點(diǎn)關(guān)注的。
另外一件事情，很有意思，我們還是回到最開(kāi)始，文科和理科他們求同存異的關(guān)系，今年文科和理科很多地方有明顯的差異，但是他們再次使用了相同的背景，解析幾何大題比較難，對于很多同學(xué)來(lái)說(shuō)不一定處理的特別好，但我們一起看看，這個(gè)東西對我們來(lái)說(shuō)有哪些變化和哪些穩定性是我們可以把握的，如果我們考前預測，沒(méi)有特別復雜的橢圓的變形，第一問(wèn)起點(diǎn)低，所有同學(xué)都能會(huì )，但第二個(gè)處理的不是特別好，是因為什么？是因為同學(xué)們已經(jīng)習慣了在相當一部分情況下，準確地說(shuō)大部分同學(xué)心中在90%左右的情況下，我們處理的事情是題目里面會(huì )有一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)和橢圓方程連立，寫(xiě)一個(gè)二次方程，寫(xiě)判別式等等去進(jìn)行表示，一定會(huì )做一些調整，這個(gè)調整在2010年進(jìn)行過(guò)一次，考前專(zhuān)門(mén)帶領(lǐng)同學(xué)們做過(guò)一件事情，就是看考試說(shuō)明，接下來(lái)的考試中這一點(diǎn)依然很重要，2014年北京考試說(shuō)明的數學(xué)樣題里面，解析幾何就是2010年，里面有一個(gè)重要的特征，這個(gè)重要的特征就是考的單洞點(diǎn)，點(diǎn)B在直線(xiàn)外點(diǎn)2上，這個(gè)相對比較簡(jiǎn)單和好寫(xiě)。文科考的是AB線(xiàn)的長(cháng)短，理科考的是判斷位置關(guān)系，很多同學(xué)覺(jué)得看到這種題目不知道怎么做，同學(xué)們看到下面一行字，解析幾何的本質(zhì)是坐標表示與計算，大家要記住這句話(huà)，什么意思？意思是很多時(shí)候看一個(gè)題目，特別是這個(gè)題目比較復雜的情況下，真的不一定能夠完全看懂，不一定一下子想出解題辦法，解析幾何這個(gè)題目，能解出算出一些東西，解析幾何我們做的事情，有兩步，一步叫翻譯，一步叫計算，翻譯是把題目所有的漢字寫(xiě)成字母，根據方程和不等式去進(jìn)行求解，去求函數的定義和直義。有點(diǎn)寫(xiě)坐標，也線(xiàn)列方程，有關(guān)系就寫(xiě)式子，你看這個(gè)題目你應該這樣想，完全沒(méi)有必要找方法，有點(diǎn)寫(xiě)坐標，O00，A點(diǎn)坐標，什么叫做在橢圓C上，就是這個(gè)公示，這是我們之間講過(guò)的四個(gè)字叫做肖圓直線(xiàn)，直線(xiàn)OA和OB，等于零，于是我們又得到了一個(gè)關(guān)系，高考題還可以已成這個(gè)樣子，以AB為直徑，直徑所謂的圓周角是直角，題目可以千變萬(wàn)化，但萬(wàn)變不離其中，至于這個(gè)題目求長(cháng)度，求最值，變成一個(gè)函數，理科題目判斷直線(xiàn)和關(guān)系，判斷原心到直線(xiàn)的距離。解析幾何印證了前面的東西，考察的不是解題方法和模型，題目會(huì )有變化，但在變化之中的穩定性，是我們必須要掌握一些基本技能，基本技能往往是數學(xué)思想，往往是出題人需要我們了解的數學(xué)的本質(zhì)。這就是結合這樣一些題目，來(lái)給大家講的穩定與變化，有一些題目是基本穩定的，你要掌握的特別好，你要學(xué)會(huì )做的更快，有一些題目是穩中有變，你需要知道怎么變，有些題目看起來(lái)不太一樣，很奇怪，很不熟悉，但是他的內核也是穩定的，如何把這些技能錘煉的更好一些。
2014高考北京卷數學(xué)的真題點(diǎn)評到此結束，希望廣大考生關(guān)注新東方在線(xiàn)高考名師團隊其他科目的解析和點(diǎn)評。
最后，新東方在線(xiàn)祝愿廣大2014高考考生取得優(yōu)異成績(jì)，金榜題名。并祝2015高考考生備考順利。
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