趣味數學(xué)：整數與偶數哪個(gè)更多一些
2011-10-09 16:39:31學(xué)習庫
如果我問(wèn)你：“整數與偶數，哪一種數多？”恐怕不少同學(xué)都會(huì )說(shuō)：“當然整數比偶數多了。”進(jìn)一步，恐怕還會(huì )有同學(xué)告訴我：“偶數的個(gè)數等于整數個(gè)數的一半！”
什么道理呢？那是因為“奇數與偶數合起來(lái)就是整數。而奇數與偶數是相間排列的，所以奇數與偶數一樣多，它們都是整數的一半。”
“整數包括偶數，偶數是整數的一部分，全量大于部分，整數比偶數多這不是顯而易見(jiàn)、再明白不過(guò)的事嗎？”
你認為這樣回答有道理嗎？
這真是不成問(wèn)題的問(wèn)題！可是，且慢，往往就在這種最不成問(wèn)題的問(wèn)題上出了問(wèn)題。比如，我們要比較兩個(gè)班級的人數的多少，該怎么辦呢？通常有兩種辦法：
1．分別數出這兩個(gè)班的人數，然后比較兩個(gè)班人數的多少。
2．讓兩個(gè)班同學(xué)分別排成一路縱隊，讓兩班排第一的兩人牽起手來(lái)，排第二的兩人也牽起手來(lái)，…，以后的同學(xué)依次對應牽起手來(lái)。最后，如果某班所有的同學(xué)都與另一班的同學(xué)牽起了手，而另一班還有同學(xué)未與某班同學(xué)牽手，則某班同學(xué)比另一班人數少。
現在我們再來(lái)看整數與偶數的多少問(wèn)題吧！
1．你能數出整數有多少個(gè)？偶數有多少個(gè)來(lái)嗎？由于整數與偶數都有無(wú)窮多個(gè)，當然我們都不能數出它們的個(gè)數。
所以，用第一種辦法來(lái)比較整數與偶數的多少是行不通的。
現在來(lái)考慮第二種辦法，我們可以把整數排成一隊：
0，-1，1，-2，2，-3，3，…，-n，n，…。
然后再把偶數也排成一隊：
0，-2，2，-4，4，-6，6，…，-2n，2n，…。
這樣排好之后，所有的整數都排進(jìn)了第一隊中，所有的偶數都排進(jìn)第二隊中�，F在讓第一隊中的0與第二隊中的0“牽起手”來(lái)（即對應起來(lái)），第一隊中的-1與第二隊中的-2對應；第一隊中的1與第二隊中的2對應；……，第一隊中的-n與第二隊中的-2n對應；第一隊中的n與第二隊中的2n對應，……你看，這么一個(gè)對一個(gè)地“牽好手”（即建立起“一一對應關(guān)系”之后），我們馬上可以發(fā)現，第一隊中的每個(gè)數都與第二隊中的某個(gè)數對應，而第二隊的每個(gè)數都與第一隊的某個(gè)數對應，兩個(gè)隊伍都沒(méi)有任何一數剩下來(lái)，既然如此，你能說(shuō)整數比偶數多嗎？看來(lái)不能。這就是說(shuō)：整數與偶數同樣多！
這真似乎有悖常理了，部分竟然等于全體！但這確是事實(shí)！這告訴我們，“無(wú)窮”是不能用“有限”中的法則來(lái)衡量的，許多對“有限”成立的性質(zhì)對“無(wú)窮”卻未必成立。
著(zhù)名的數學(xué)家康托（Cantor，1829-1920）首先想通了這個(gè)問(wèn)題。著(zhù)名數學(xué)家希爾伯特則講了下面一個(gè)例子：
一家旅館有無(wú)窮多間房間。某天，所有房間都客滿(mǎn)了，這時(shí)又來(lái)了一位旅客，“沒(méi)問(wèn)題！”老板說(shuō)，他馬上請一號房的客人移到二號房，二號房的客人移至三號房，三號房的客人移至四號房，等等。由于房間有無(wú)限多，自然所有的老客總有房住而新客也都住進(jìn)去了。
而如果有無(wú)窮多位客人來(lái)怎么辦呢？老板只要請一號房的客人移到二號房，二號房的客人移至四號房，三號房的客人移至六號房，等等，這時(shí)，所有單號房間都騰出來(lái)讓新來(lái)的無(wú)窮多位客人住進(jìn)去了。
按照康托建立的法則（即建立起“一一對應關(guān)系”），我們可以比較任何兩個(gè)無(wú)窮集合的數目的多少，而且可以得出許多驚人的結論。這里就不一一列舉這些奇妙的結論了。
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