數學(xué)專(zhuān)項輔導：集合大小定義的基本要求(3)
2011-09-27 11:17:22搜狐教育專(zhuān)區
所謂的結構，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動(dòng)。建筑工地上搭的腳手架就是一種結構，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會(huì )把它們都拆下來(lái)再拿到另一個(gè)工地上去安裝使用，雖然構成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來(lái)的那些，但是腳手架卻完全是另一個(gè)了，變化了的其實(shí)是結構。
數學(xué)結構也一樣。比如說(shuō)上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗證自然數的大小滿(mǎn)足我們前面所說(shuō)的偏序關(guān)系的三個(gè)條件，而且每?jì)蓚�(gè)自然數之間都可以比較大小，所以在自然數集合上有一個(gè)全序關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就給了自然數集合一個(gè)結構，就叫序結構。你可以把擁有全序結構的自然數集合仍舊想像成上面那個(gè)裝了球的袋子，只是這時(shí)候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時(shí)我們想像自然數集合，可能會(huì )把它想成數軸上離原點(diǎn)越來(lái)越遠的一串點(diǎn)，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數，不知不覺(jué)地，我們已經(jīng)把序結構想像進(jìn)去了。當我們感到“正偶數的個(gè)數應該是自然數個(gè)數的一半，因為每隔一個(gè)數就有一個(gè)是偶數”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數球得老老實(shí)實(shí)地和奇數球一個(gè)隔一個(gè)地串在一起，而不是雜亂無(wú)章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個(gè)”的。
在考慮到自然數的序結構后，我們就可以給“自然數的個(gè)數是正偶數的個(gè)數的兩倍”這種直覺(jué)一個(gè)合理的解釋了�？紤]小于100的正偶數，一共有49個(gè)，所以占小于100的自然數的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來(lái)越大的數字，我們會(huì )發(fā)現正偶數所占的比例會(huì )越來(lái)越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數的子集的大小的定義：如果A是自然數的一個(gè)子集，令p(n)為A中小于n的元素的個(gè)數，我們稱(chēng)limn→∞p(n)/n(就是當n趨向無(wú)窮大時(shí)，p(n)/n的極限)為A相對于自然數集合的大小。在這個(gè)定義下，正偶數集合相對于自然數集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數集合相對于自然數集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數都不是素數”。用上面這個(gè)方法還可以比較兩個(gè)自然數集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來(lái)思考了。
如果沒(méi)有自然數序結構這個(gè)“背景”，我們就只能夠使用一一對應的方法來(lái)討論集合的基數，那種“自然數的個(gè)數是正偶數的個(gè)數的兩倍”的直覺(jué)只是一種錯覺(jué)。比如說(shuō)考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點(diǎn)所組成的集合(其中n是自然數)。如果站在x軸的角度來(lái)看，我們發(fā)現每隔一列就有一個(gè)點(diǎn)，而列數顯然和自然數一樣多，所以點(diǎn)數就該和正偶數一樣多;如果站在y軸的角度來(lái)看，我們發(fā)現每行都有一個(gè)點(diǎn)，而行數也和自然數一樣多，所以點(diǎn)數就該和自然數一樣多。按照集合基數的觀(guān)點(diǎn)，自然數和正偶數一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺(jué)”所給予的一會(huì )兒“一樣多”一會(huì )兒“兩倍”的印象，就沒(méi)有太大的意義了(最多得到“兩倍的無(wú)窮大等于無(wú)窮大”這種我們按照一一對應原則早已熟知，而且解釋得更好的觀(guān)點(diǎn))。
除了序結構外，還有其他的數學(xué)結構。法國著(zhù)名的布爾巴基學(xué)派就認為數學(xué)基于三種母結構：序結構、代數結構和拓撲結構，各種數學(xué)結構可以混雜在一起得出不同的數學(xué)對象，比如說(shuō)實(shí)數集上有比較大小的序結構，還有由算術(shù)運算(加和乘，減和除是它們的逆運算)定義的代數結構，以及由極限理論(它規定了某些點(diǎn)必須在另一些點(diǎn)的“附近”)定義的拓撲結構。布爾巴基學(xué)派試圖用結構主義的觀(guān)點(diǎn)來(lái)統一數學(xué)，出版了著(zhù)名的《數學(xué)原理》。結構主義的觀(guān)點(diǎn)大致來(lái)說(shuō)，就是數學(xué)結構決定數學(xué)對象。兩個(gè)分別定義在兩個(gè)不同集合上的數學(xué)對象，如果它們的數學(xué)結構相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實(shí)也是同一個(gè)數學(xué)對象。在數學(xué)中我們有時(shí)會(huì )碰到“同構”這個(gè)詞，就是指在某種一一映射下，兩個(gè)數學(xué)對象的數學(xué)結構相同。
舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過(guò)復數和它的幾何表示法，知道每個(gè)復數都可以對應到直角坐標平面上的一個(gè)點(diǎn)，而復數的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個(gè)復數是a+bi這樣的一對數，還是平面上的一個(gè)點(diǎn)(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對數和一個(gè)點(diǎn)是完全不同的兩樣東西，只要在實(shí)數對集合和平面點(diǎn)集上面由加法和乘法決定代數結構是相同的，它們都可稱(chēng)作是復數，是同一個(gè)數學(xué)對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點(diǎn)仍舊是那些，但是因為在上面所定義的數學(xué)結構變了，于是就完全是兩種不同的數學(xué)對象了。
象上面這樣的例子中數學(xué)結構的相同當然很直觀(guān)，而有一些此類(lèi)問(wèn)題則牽涉到極其深刻的數學(xué)理論，比如說(shuō)著(zhù)名的龐加萊猜想(新千年的七大數學(xué)問(wèn)題之一，價(jià)值百萬(wàn)美金:-))就是問(wèn)，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話(huà)說(shuō)，是否給定了“閉單連通”這個(gè)條件，在3維流形上就只能有一種拓撲結構，也就是3維球的拓撲結構?另外，證明兩個(gè)原來(lái)似乎沒(méi)有關(guān)系的數學(xué)對象的數學(xué)結構其實(shí)是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個(gè)數學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著(zhù)這兩個(gè)數學(xué)對象其實(shí)是同一種東西，對于其中一個(gè)數學(xué)對象成立的理論，可以立刻應用在另一個(gè)上面;以往用來(lái)研究一種數學(xué)對象的方法，就可以被用來(lái)研究另一類(lèi)數學(xué)對象。本文開(kāi)頭說(shuō)到英國數學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，他證明的其實(shí)是更一般的“谷山-志村猜想”。這個(gè)猜想就是此類(lèi)意義重大的命題，它溝通了兩個(gè)數學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線(xiàn)和模形式。它的證明被稱(chēng)為是“人類(lèi)智慧的凱歌”。
最后舉個(gè)搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍貓的廣告，構成畫(huà)面的元素不同，一個(gè)是機器人，一個(gè)是藍貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫(huà)面結構卻相同，也算是個(gè)不光彩的“同構”例子吧。
“一個(gè)平面上的點(diǎn)應該比一條直線(xiàn)上的點(diǎn)的個(gè)數多”這樣的直覺(jué)也可以用附加的數學(xué)結構來(lái)解釋合理性。當我們想像直線(xiàn)或平面上的點(diǎn)時(shí)，我們不但想像了那些點(diǎn)集，同時(shí)也在想像著(zhù)這些點(diǎn)集構成的直線(xiàn)和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點(diǎn)了，它們的排列非常有規律。換句話(huà)說(shuō)，我們在點(diǎn)集上增加了決定直線(xiàn)和平面的數學(xué)結構。如果我們把直線(xiàn)和平面看作是實(shí)數域上的線(xiàn)性空間(關(guān)于線(xiàn)性空間的理論是線(xiàn)性代數，所有理科的學(xué)生會(huì )在大學(xué)一年級學(xué)習)，我們就遇見(jiàn)了一些數學(xué)結構：首先我們需要一個(gè)實(shí)數域，上面有一個(gè)域的代數結構，其次我們在直線(xiàn)和平面的點(diǎn)集上定義了一個(gè)交換群的代數結構，最后在實(shí)數域和交換群上定義了稱(chēng)作“數乘”的代數結構，這個(gè)代數結構同域和交換群上的各種運算都兼容，這樣我們最終得到了這個(gè)被稱(chēng)為“實(shí)數域上的線(xiàn)性空間”的代數結構。上面這一串話(huà)也許有點(diǎn)復雜，但是中心思想就是上面所說(shuō)的結構主義的思想：數學(xué)對象是由各種數學(xué)結構混雜在一起(當然要合理地混雜在一起，上面所說(shuō)的“兼容”就是這個(gè)意思)而得到的。一旦我們這樣規定了線(xiàn)性空間的結構，我們就可以定義線(xiàn)性空間的維數，這時(shí)我們可以說(shuō)，兩維的線(xiàn)性空間(平面)在這種意義下要比一維的線(xiàn)性空間(直線(xiàn))大。
從上面兩個(gè)例子我們看到，當集合中的元素只是被看做一個(gè)沒(méi)有任何數學(xué)結構的集合中散亂的元素時(shí)，我們只能用一一對應的方法來(lái)比較集合的大小;而當豐富多彩的數學(xué)結構被加在集合上時(shí)，我們才有可能用更精細和更符合直覺(jué)的手段來(lái)定義不同的比較(附加有數學(xué)結構的)集合大小的方法。
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