27屆美國數學(xué)奧林匹克競賽

27屆美國數學(xué)奧林匹克競賽

第一部分（上午9：00-12：00） 1998年4月28   1．已知：集合{1、2、…..1998}，把其中的元素兩兩一組分成不同的數組{ai，bi}（1≤i≤999）， 　　　　　　 使得對于所有i都有| ai - bi| 等于1或6。 求證：| a1 – b1|+| a2- b2|+。。。+| a999 – b999|的和的各位數為9。 2．已知：c1、c2為同心圓c2在c1內部，過(guò)A點(diǎn)做c2的切線(xiàn)AC，切點(diǎn)為B，D是AB中點(diǎn)，直線(xiàn)AE與圓c2交于E、F，使得線(xiàn)段DE、CF的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)M在直線(xiàn)AB上。（下為參考圖） 　 求：AM/MC并寫(xiě)出理由。 3．已知：數a0，a1，。。。an屬于（0，π/2）， 且tan（a0—π/4）+ tan（a1—π/4）+。。。+ tan（an—π/4）≥n—1。 　 求證：tan a0 tan a1 ···tan an≥n n—1。   第二部分（下午1：00-4：00） 1998年4月28 4．設想：計算機屏幕上有一個(gè)98×98的國際象棋棋盤(pán)（黑白相間），你可以按住鼠標左鍵拖動(dòng)鼠標選定任意區域的方格，點(diǎn)擊右鍵可使在你選定區域內的所有方格的顏色發(fā)生改變（黑的變白，白的變黑）。求：把棋盤(pán)所有方格變?yōu)橥�一種顏色所需點(diǎn)擊鼠標的最少次數，并證明。 5．求證：存在包含n（n≥2）個(gè)整數的集合S，使（a—b）2整除ab，其中a、b∈S。 6．對于凸多邊形A1A2。。。An（其中n≥5），有k（k是n的一個(gè)函數）個(gè)四邊形AiAi+1Ai+2Ai+3 存在內切圓，試求整數k的最大值。（這里：An+j=Aj）