第四屆北京高中數學(xué)知識應用競賽試題及參考答案

第四屆北京高中數學(xué)知識應用競賽試題及參考答案

試 題 1、（滿(mǎn)分20分）汽車(chē)在行駛中，由于慣性的作用，剎車(chē)后還要繼續向前沒(méi)行一段距離才能停住。我們稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”。剎車(chē)距離是分析事故的一個(gè)重要的因素。在一個(gè)限速為40千米/時(shí)的路段上，先后有A、B兩輛汽車(chē)發(fā)生交通事故。事故后，交通警察現場(chǎng)測得A車(chē)的剎車(chē)距離超過(guò)12米，不足15米，B車(chē)的剎車(chē)距離超過(guò)11米，不足12米。又知A、B兩種車(chē)型的剎車(chē)距離S（米）與車(chē)速x（千米/時(shí)）之間有如下關(guān)系： 如果僅僅考慮汽車(chē)的車(chē)速因素，哪輛車(chē)應負責任？ 　 2.（滿(mǎn)分20分）北京電視臺每星期六晚播出《東芝動(dòng)物樂(lè )園》，在這個(gè)節目中曾經(jīng)有這樣一個(gè)搶答題：小晰蜴體長(cháng)15cm，體重15g,問(wèn)：當小晰蜴長(cháng)到體長(cháng)為20cm時(shí)，它的體重大約是多少（選擇答案：20g,25g,35g,40g）?嘗試用數學(xué)分析出合理的解答。 3. （滿(mǎn)分20分）受日月的引力，海水會(huì )發(fā)生漲落，這種現象叫做潮汐。在通常的情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口順某季節每天的時(shí)間與水深關(guān)系表： 時(shí)刻 水深（米） 時(shí)刻 水深（米） 時(shí)刻 水深（米） 0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4 1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9 2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3 5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8 (1)請在坐標紙上，根據表中的數據，用連續曲線(xiàn)描出時(shí)間與水深關(guān)系的函數圖像； （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5的安全間隙（船底與洋底的距離），問(wèn)該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？   　　 4．（滿(mǎn)分20分）2000年末，某商家迎來(lái)店慶，為了吸引顧客，采取“滿(mǎn)一百送二十，連環(huán)送”的酬賓方式，即顧客在店內花錢(qián)滿(mǎn)100元（這100元可以是現金，也可是獎勵券，或二者合計），就送20元獎勵券；滿(mǎn)200元，就送40元獎勵券，滿(mǎn)300元，就送60元獎勵券；...。當日，花錢(qián)最多的一顧客用現金70000元，如果按照酬賓方式，他最多能得到多少優(yōu)惠呢？相當于商家打了幾折銷(xiāo)售？ 　　 5．（滿(mǎn)分20分）某城市準備舉行書(shū)畫(huà)展覽，為了保證展品安全，展覽的保衛部門(mén)準備安排保安員值班。情況如下： ①展覽大廳是長(cháng)方形，內設均勻頒的m×n個(gè)長(cháng)方形展區，如圖所示（下圖是一個(gè)3×4個(gè)展區的示意圖）。在展廳中，展覽的書(shū)畫(huà)被掛在每個(gè)展區的外墻上，參觀(guān)者在通道上瀏覽書(shū)畫(huà)。 ② 保安員站在固定的位置上，不允許轉身，只能監視他的左右兩側和正前方，形如“T”形的區域。且一個(gè)保安員的正前方不安排其它保安員。 ③ 不考慮保安員的輪崗、換班問(wèn)題。 ④ 展口的安全意味著(zhù)每一個(gè)展區的四面外墻都在保安員的監視范圍內。 問(wèn)題：（1）對于如上圖所示的展廳中，最少需要幾個(gè)保安員能使展品安全？在圖中標明保安員的位置（不要求證明）。 （2） 假如展要有n×m個(gè)展區，最少需要多少個(gè)保安員能使展品安全？請證明你的結論。   競賽參考答案 　 1.解法一： 由題意得這兩輛汽車(chē)的剎車(chē)距離分別滿(mǎn)足如下的關(guān)系式： 　　 12<<15， 　　 11<<12， 分別求解這兩個(gè)不等式，得 　 30<<<35， 　 12<<<<45. 可見(jiàn)，A車(chē)無(wú)責任，B車(chē)應付責任。 　 解法二：如果==40km/h，則可以算得=20m,=10m。由于A(yíng)車(chē)實(shí)際剎車(chē)距離沒(méi)有超過(guò)它按限速行駛的剎車(chē)距離=20m；而B(niǎo)車(chē)實(shí)際剎車(chē)距離超過(guò)了它按限速行駛時(shí)的剎車(chē)距離=10m。 可見(jiàn)A車(chē)無(wú)責任，B車(chē)應付責任。 2.解：假設小晰蜴從15cm長(cháng)到20cm，體形是相似的。這時(shí)晰蜴的體重正比于它的 體積，而體積與體長(cháng)的立方成正比。 　 記體長(cháng)為l的晰蜴的體重為，因此有 　 合理的答案應該是35g。 3.解：（1）描點(diǎn)作圖，設x表示時(shí)間，y表示水深。 　　 （2）由題目條件，水深至少為5.5米時(shí)才能保證貨船駛入港口的安全。為此在上圖中做一條y=5.5的水平直線(xiàn)a。圖象在a止方時(shí)，其對應的x范圍為貨船駛入港口的安全時(shí)間段，從圖中可以看出，這個(gè)時(shí)間段約為0:30到5:40分，或13:00到18:20（有10分鐘左右的偏差可以算對），在港口停留的時(shí)間大約為5小時(shí)。 　 也可以用線(xiàn)性插值方法，在已知點(diǎn)中，若相鄰兩點(diǎn)在直線(xiàn)a的異側，設加在它們中間且過(guò)直線(xiàn)a的點(diǎn)與它們共線(xiàn)。于是 　 利用點(diǎn)（0，5）和（1，6.2），得=（5.5-5）/（6.2-5）=0.417，對應的時(shí)間為0:25；利用點(diǎn)（5，6.5）和（6，5.3），得=5.83，對應的時(shí)間為5:50。由此得到第一個(gè)滿(mǎn)足條件的時(shí)間段約為0:25-5:50。 　 同理，利用點(diǎn)（12,4.4）和(13,5.6)，得=12.92,對應的時(shí)間為12:55；利用點(diǎn)（18,5.9）和(19,4.4)，得=18.27，對應的時(shí)間為18:16。由此得到第二個(gè)滿(mǎn)足條件的時(shí)間段約為12:55-18:16。 　 （3）2:00時(shí)水深為7.1米，船需要的安全水深隨著(zhù)卸貨時(shí)間的變化公式為： y=5.5-0.3(x-2); 　　 其中2<x<5.83，此處利用了插值的結果。在上面的函數圖象中畫(huà)出該圖象，看出與原圖象的交點(diǎn)大約在7:00左右（有10分鐘左右上午偏差可以算正確），故知在7:00以前該貨船一定要離開(kāi)碼頭駛到較深的安全水域。 　 注： 此處也可利用(6,5.3),(7,4.1)做線(xiàn)性插值，得y=-1.2x+12.5與y=5.5-0.(x-2),聯(lián)立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做線(xiàn)性插值，得y=-x+11.1與y=5.5-0.3(x-2)聯(lián)立可求得x=7,即7:00.這些做法與看圖得到的結果一致。 　 　 4.解：購物價(jià)值=所用人民幣值+優(yōu)惠值，將最多購物價(jià)值記作。 　　　　　　按下列方法購物 　　　第一次用現金購物70000元，獲得獎勵券70000×12%=14000（元）； 　　　　第二次用現金購物14000元，獲得獎勵券14000×20%=2800（元）； 　　　　 第三次用現金購物2800元，獲得獎勵券2800×20%=560（元）； 　　　　 第四次用現金購物500元，獲得獎勵券500×20%=100（元）； 　　　　第五次用現金購物100元，獲得獎勵券100×20%=20（元）； 　　　　第六次用現金購物80元，獲得獎勵券80（60+20），獲得獎勵券0元。 　　　　至此，現金及獎勵券全部用完，共計購物（記作a）a=70000+14000+2800+500+100+80=87480(元)。而=80。018%，近似于八折。 　　　　下面證明=a. 　　　　設分k次將70000花掉，第i次購物獲得的獎勵券為元，剩下的錢(qián)為元（不包括第i次獲得的獎勵券）。則0≤≤,并可依次得=（70000-）20%≤14000；=(7000-)20%+[(7000-)20%+-]20%=70000 20%+70000--20%; 　　　　 =70000 20%+70000 -(20%)2-20%+{[70000-)20%+-]20%+-}20% 　　　　　　　　　　　 =70000 20%+70000 +70000 ---20%; 　　　一般地=70000 20%+70000 +...+70000 --···--20%， 　　 即<70000 [20%+++···+]<17500。 　　　則總共購物價(jià)值為70000+<70000+17500=87500. 　　　即=87480元。接近八折。 　 5.解：（1）對如圖所示的3×4個(gè)展區，至少要5個(gè)保安員才能保證展覽的書(shū)畫(huà)是安全的。 　　 保安員站位的方案有多種，其中一個(gè)如下圖所示： 　　　　　�。�2）對n×m個(gè)展區，至少要m+n-2個(gè)保安員才能保證展覽的書(shū)畫(huà)是安全的。 　　　　 證明：我們把模型進(jìn)行抽象，把n×m 個(gè)展區抽象成一個(gè)n×m“格陣”，它有n+m+2條邊（對應待監視的走廊），且用字母標記如下： 　　　　 由于保安員監視范圍是“T”型區域，所以稱(chēng)保安員的位置對慶的“格隈”中的格點(diǎn)為“T形點(diǎn)。” 　　　 這樣，我們把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉化為一個(gè)數學(xué)模型：在n×m“格陣”中至少取幾個(gè)“T”形點(diǎn)能夠用這些T形區域覆蓋n×m“格陣”的全部n+m+2條邊。 　　　 首先，“T”型點(diǎn)放在n×m“格陣”的外邊框的格點(diǎn)上才能發(fā)揮最大作用，覆蓋兩條邊。否則，如果在中間某一格點(diǎn)處放一“T”形點(diǎn)P，那么這一“T”形點(diǎn)P的另一邊的一部分，而另一部分還需要另外的“T”形點(diǎn)去覆蓋，這樣P“T”形點(diǎn)相當于只覆蓋了一條邊。 　　　 此外，在n×m“格陣”的邊界格點(diǎn)上，當有了一個(gè)“T”形點(diǎn)時(shí)，如果在此邊界上再放入第二個(gè)，它所在的邊界已不需要它覆蓋，那么這個(gè)“T”形點(diǎn)相當于覆蓋了一條邊。由于n×m“格陣”只有4條邊界，所以“T”形點(diǎn)多于4個(gè)時(shí)，其中4個(gè)覆蓋兩條邊，其余的只相當于覆蓋一條邊。因為這“其余的”不是被放在中間的格點(diǎn)上，就是被放在已有一個(gè)“T”形點(diǎn)的邊界上，n×m“格陣”共有m+n+2條邊，所以至少需“T”形點(diǎn)（m+n+2）-4個(gè)，即m+n-2個(gè)。 　　 另外，也的確有如下的辦法用m+n-2個(gè)“T”形點(diǎn)控制n×m“格陣”的m+n+2條邊。 　 在處放4個(gè)“T”形點(diǎn)，它們可以控制8條邊。 　　 再在，這n-3個(gè)位置上放n-3個(gè)“T”形點(diǎn)，它們可以覆蓋不同于前面的n-3條橫向邊。 　 再在，這n-3個(gè)位置上放m-3個(gè)“T”形點(diǎn)，它們可以覆蓋不同于前面的m-3條縱向邊。 　 總計覆蓋了8+(n-3)+(m-3)條不同的的邊，也就是整個(gè)n×m“格陣”。