1998中國數學(xué)奧林匹克（廣州）（第十三屆全國中學(xué)生數學(xué)冬令營(yíng)）

　　第一天（1998年1月12日上午8:00-12:30）

　　一、在一個(gè)非鈍角△ABC中,AB＞BC,∠B=45o,O和I分別是△ABC的外心和內心,且21/2OI=AB-BC,求sin∠A.

　　二、對于給定的大于1的正整數n,是否存在2n個(gè)兩兩不同的正整數a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:

　　(1)a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn;

　　(2)

　　請說(shuō)明理由.

　　三、設S={1,2,…,98},求最小自然數n,使得S的任一n元子集中都可以選出10個(gè)數,無(wú)論怎樣將這10個(gè)數均分成兩組,總有一組中存在一個(gè)數與另外4個(gè)數都互質(zhì),而另一組中總有一個(gè)數與另外4個(gè)數都不互質(zhì).

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　　第二天（1998年1月13日上午8:00-12:30）

　　四、求所有大于3的自然數n,使得1+Cn1+Cn2+Cn3整除22000.

　　五、設D為銳角三角形ABC內部一點(diǎn),且滿(mǎn)足條件:DA·DB·AB+DB·DC·BC+DC·DA·CA=AB·BC·CA.試確定D點(diǎn)的幾何位置,并證明你的結論.

　　六、設n≥2,x1,x2,…,xn均為實(shí)數,且對于每一個(gè)固定的k(k∈N,1≤k≤n),求|xk|的最大值.