1999中國數學(xué)奧林匹克（北京）（第十四屆全國中學(xué)生數學(xué)冬令營(yíng)）
2009-08-31 12:09:53網(wǎng)絡(luò )來(lái)源
第一天（1999年1月11日上午8:00-12:30）
一、在銳角△ABC中，∠C＞∠B，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，使得∠ADB是鈍角，H是△ABD的垂心，點(diǎn)F在△ABC內部且在△ABD的外接圓周上，求證點(diǎn)F是△ABC垂心的充分必要條件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圓周上.
二、給定實(shí)數a，設實(shí)多項式序列{fn(x)}滿(mǎn)足f0(x)=1，fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax)，n=0,1,2,……
�。�1）求證fn(x)=xnfn(1/x)，n=0,1,2,……
�。�2）求fn(x)的明顯表達式.
三、MO太空城由99個(gè)空間站組成。任兩空間站之間有管形通道相聯(lián)。規定其中99條通道為雙向通行的主干道，其余通道嚴格單向通行。如果某四個(gè)空間站可能通過(guò)它們之間的通道從其中任一站到達另外任一站，則稱(chēng)這四個(gè)站的集合為一個(gè)互通四站組。
試為MO太空城設計一個(gè)方案，使得互通四站組的數目最大（請具體算出該最大數，并證明你的結論）
--------------------------------------------------------------------------------
第二天（1999年1月12日上午8:00-12:30）
四、設m是給定的整數.求證：存在整數a，b和k.其中a，b均不能被2整除，k≥0，使得
2m=a19+b99+k·21999.
五、求最大的實(shí)數λ，使得當實(shí)系數多項式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非負實(shí)數時(shí)，只要x≥0，就有f(x)≥λ(x－a)3.并問(wèn)上式中等號何時(shí)成立？
六、設4×4×4的大正方體由64個(gè)單位正方體組成.選取其中的16個(gè)單位正方體涂成紅色，使得大正方體中每個(gè)由4個(gè)單位正方體構成的1×1×4的小長(cháng)方體中，都恰有1個(gè)紅正方體.問(wèn)16個(gè)紅正方體共有多少種不同取法？說(shuō)明理由.
