高三數學(xué)指導：掌握常規數學(xué)思維模式(嘉?
2009-02-20 09:28:05城市快報
特級教師 劉勛
文科考生說(shuō)，我們不考“數歸法”，我告訴你：“歸納——猜想——驗證”，這是一個(gè)解答題、體現思維能力的好的思維模式。
分析、討論、判斷、取舍；歸納——猜想——驗證；一般——特殊相互轉化，這些最基礎、最常規的思維模式，妙用無(wú)窮，“看似尋常最奇崛，成為容易卻艱辛”（王安石）。
2、方程式←→函數化
方程問(wèn)題函數化，函數問(wèn)題方程化，這兩化把方程的思想，函數思想融為一體，相互轉化，使“利用函數性質(zhì)解題”這個(gè)數學(xué)的大課題生輝，諸如不等←→函數增、減等一系列的簡(jiǎn)單思維模式到處可用。
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）求極值方法之一是判別式法（函數問(wèn)題方程化）∵方程ax2+bx+（c-y）=0有實(shí)根，∴△=b2-4a（c-y）≥0
4ay≥4ac-b2 a>0時(shí) y≥■即
y小=■；a<0時(shí)，y≤■
即y大=■
例2.已知A、B是△ABC的兩個(gè)內角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數m的取值范圍。
韋達定理，和積關(guān)系→常見(jiàn)轉化方式
■
∴A+B=45°→x1=tanA<1，x2=tanB<1
且都大于0。
難點(diǎn)如何定m的范圍：函數化。
f（x）=x2+mx+m+1有二正根且都在（0，1）之間的條件：（△≥0不能保證根的范圍）
對照圖象：
■
�。槭裁床槐亍�≥0？你能很清晰嗎？）
解得：-1
這是典型的方程問(wèn)題函數化，確定參數取值范圍的試題。
例3.（2008上海 理11）方程x2+■x-1=0的解可視為函數y=x+■的圖像與函數y=■的圖像交點(diǎn)的橫坐標，若x4+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根x1，x2，…，xk（k≤4），所對應的點(diǎn)（x1，■）（i=1，2，…，k）均在直線(xiàn)y=x的同側，則實(shí)數a的取值范圍是_________。
答案：（-∞，-6）∪（6，+∞）
●解法1：依題意x4+ax-4=0←→x3+a=■ 由圖示及奇函數y=x3的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的性質(zhì)，得知當y=x3+a的圖像從過(guò)B點(diǎn)起，向下平移或向上平移時(shí)，交點(diǎn)均在y=x同側。
∵A（-2，2），B（2，2），∴把A、B坐標代入y=x3+a得a=-6或a=6，故a<-6或a>6即為所求。
●解法2：依題意，結合圖形分析，■，得y=a+8或y=a-8
分別令y<2或y>-2，得a<-6或a>6。
[點(diǎn)撥評析]作為一道綜合性較強、分值不高的填空題，從“數形結合”的思想出發(fā)，通過(guò)作圖開(kāi)辟解題思路，簡(jiǎn)明、具體。試題本身就在提示你，“數形結合”可以作為一種思維模式，實(shí)現方程化←→函數化的完美結合。
解題的通式、通法都可以從中提煉出可操作的模式，形成思維規律。如解不等式sinx>■。如下思維操作定能“做一題，通一類(lèi)”。
1.結合周期T=2π，可先找x∈（0，2π）的解集，再一般化；2.結合函數值的符號先肯定或否定兩個(gè)區間：sinx>■，Ⅲ、Ⅳ象限均不是解；3.結合單位圓先找相等的界限sinx=■，x=■或x=■；4.根據函數單調性，作取舍：■
