2008年高考數學(xué)復習：解析幾何專(zhuān)題熱點(diǎn)指導
2008-04-02 11:11:01城市快報文章作者：張鼎言
如右圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F(3，0)，右準線(xiàn)l的方程為x=12。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P1、P2、P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，證明：-+-+-為定值，并求此定值。
解：(1)-=12，c=3，a2=36，b2=27，
∴-+-=1
分析：(2)本問(wèn)給出的是“角”，這就需要“轉化”，用“角”的三角函數表示距離。
設|FP1|與x軸正方向夾角為α，0α<-
P1到l的距離應為：
--c-|FP1|cosα
∴由橢圓第二定義
|FP1|=e(--c-|FP1|cosα)
這里e=-·|FP1|
=-(9-|FP1|cosα)
∴-=-(2+cosα)
同理-=-[2+cos(α+-)]
-=-[2+cos(α+-)]
∴-+-+-=-[6+cosα+cos(α+-)+cos(α+-)]
而cosα+cos(α+-)+cos(α+-)=0
∴-+-+-=-
注：本題(2)是在橢圓第二定義基礎上的變化，這種變化是以直角三角函數的綜合來(lái)呈現，但問(wèn)題的關(guān)鍵是推導目標需要求出|FPi|，i=1，2，3。
3. 已知拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且-=λ-(λ>0)。過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設其交點(diǎn)為M。
(Ⅰ)證明-·■為定值；
(Ⅱ)設△ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值。
解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ>0。
設A(x1，-x12)，B(x2，-x22)。由-=λ-，λ>0。
-
-
-
過(guò)拋物線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別是
-
解出交點(diǎn)M的坐標為(-，-)，M(-，-1)
-·■=-(x22-x12)-2(-x22--x12)=0
所以-·■為定值，其值為0，|-|⊥|-|。
(Ⅱ)由拋物線(xiàn)的定義：
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+-+2=(-+-)2
|FM|⊥|AB|，S=-|AB||FM|.
|FM|=-
=-
=-
=-
=-+-
S=-|AB||FM|=-(-+-)34，
當且僅當-=-，λ=1時(shí)，S取得最小值4。
4. 已知橢圓C1：-+-=1，拋物線(xiàn)C2：(y-m)2=2px(p>0)，且C1，C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)。
(Ⅰ)當AB⊥x軸時(shí)，求m，p的值，并判斷拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)是否在直線(xiàn)AB上；
(Ⅱ)是否存在m，p的值，使拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)恰在直線(xiàn)AB上？若存在，求出符合條件的m，p的值；若不存在，請說(shuō)明理由。
解：(Ⅰ)C1的右焦點(diǎn)F2(1，0)，當AB⊥x軸時(shí)，
由C1方程A(1，-)，又A、B關(guān)于x軸對稱(chēng)，
所以m=0，A(1，-)在C2上，可知C2的焦點(diǎn)(-，0)不在直線(xiàn)AB上。
(Ⅱ)解法一：LAB -=k
設A(x1，y1)、B(x2，y2)在C1上，
由-
(1)-(2)：-+-k=0 (A)
上面的方法給我們一個(gè)重要的啟示，LAB與C1相交時(shí)不是用聯(lián)立方程組化為一元二次方程，求出△，x1+x2，x1x2等過(guò)渡量。理由是后面的推導不需要x1x2。
