08高考數學(xué)復習：三角函數專(zhuān)題熱點(diǎn)復習指導
2008-01-23 09:48:58城市快報文章作者：張鼎言
天津市第四十二中學(xué)張鼎言
已知函數f(x)=--sin2x+sinxcosx
(Ⅰ)求f(-)的值；
(Ⅱ)設α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。
解：(Ⅰ)化簡(jiǎn)f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--
=sin(2x+-)--
f(-)=sin---=0
解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--
=---，
∴sin(α+-)=-
-sinα+-cosα=-
sinα+-cosα=-
-cosα=--sinα
兩邊平方整理關(guān)于sinα的二次方程：
16sin2α-4sinα-11=0
∵α∈(0，π)
∴sinα=-
注：在三角函數的求值、化簡(jiǎn)及研究三角函數的性質(zhì)中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起著(zhù)重要的作用。
(二)三角函數的圖象與性質(zhì)
復習導引：這一部分是高考的重點(diǎn)內容。三角函數的研究?jì)热菖c方法既具有一般函數性質(zhì)，又有其特殊的性質(zhì)，周期性突顯出來(lái)，如第3、9題，從圖象角度審視，軸對稱(chēng)、中心對稱(chēng)、成為擬題的載體，如第4、5、6、11題。
1.設函數f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的圖象在y軸右側的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標為-。
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)如果f(x)在區間[--，-]上的最小值為-，求α的值。
解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α
=--+-sin2ωx+α
=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-
=sin(2ωx+-)+α+-
2ω·■+-=-，ω=-
(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-
--≤x≤-
0≤x+-≤-
fmin(x)=f(-)=--+α+-=-
∴α=-+-
2.如圖，函數y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0，1)。
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)設p是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求-與-的夾角。
解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-
0≤φ≤-∴φ=-
(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)
∵P為最高點(diǎn)
∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)
f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-
cos2α=-=-
∴-與-的夾角是arccos-
3.已知函數f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A>0，ω>0，0<φ<-)，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱(chēng)軸的距離為2，并過(guò)點(diǎn)(1，2)。
(1)求φ；
(2)計算f(1)+f(2)+…+f(2008)。
解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)
fmax(x)=--(--)=2∴A=2
由已知，T=4=-，ω=-
f(x)=1-cos(-x+2φ)
f(1)=1-cos(-+2φ)=2
∴sin2φ=10<φ<-
∴φ=-
∴f(x)=sin(-x)+1
(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2
f(2)=sinπ+1=1
f(3)=sin-+1=0
f(4)=sin2π+1=1
又f(n)是以4為周期的函數
-=502
∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008
4.設函數f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，y=f(x)圖象的一條對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-。
(Ⅰ)求φ；
(Ⅱ)求函數y=f(x)的單調增區間；
(Ⅲ)證明直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數y=f(x)的圖象不相切。
解：(Ⅰ)∵x=-為f(x)對稱(chēng)軸，
∴sin(2×■+φ)=±1.
∴sin(-+φ)=±1，-π<φ<0
∴-+φ=--，φ=--
∴f(x)=sin(2x--)
解：(Ⅱ)f(x)的單調遞增區間
2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z
kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z
證明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-
f(x)=sin(2x--)
k'=f'(x)=2cos(2x--)
|k'|≤2
∵k≠|(zhì)k'|∴不能相切
注：本題闡述了三角函數圖象軸對稱(chēng)求解析式的方法。
