三大核心領(lǐng)域之幾何學(xué)范疇

1、初等幾何

　　在希臘語(yǔ)中，“幾何學(xué)”是由“地”與“測量”合并而來(lái)的，本來(lái)有測量土地的含義，意譯就是“測地術(shù)”�！皫缀螌W(xué)”這個(gè)名詞，系我國明代數學(xué)家根據讀音譯出的，沿用至今。

　　現在的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形(點(diǎn)、線(xiàn)、面、角、圓等)在運動(dòng)下的不變性質(zhì)的科學(xué)。
 
    例如，歐氏幾何中的兩點(diǎn)之間的距離，兩條直線(xiàn)相交的交角大小，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運動(dòng)不變量。

　　初等幾何作為一門(mén)課程來(lái)講，安排在初等代數之后；然而在歷史上，幾何學(xué)的發(fā)展曾優(yōu)先于代數學(xué)，它主要被認為是古希臘人的貢獻。

　　幾何學(xué)舍棄了物質(zhì)所有的其它性質(zhì)，只保留了空間形式和關(guān)系作為自己研究的對象，因此它是抽象的。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結論導出另一些新結論。定理是用演繹的方式來(lái)證明的，這種論證幾何學(xué)的代表作，便是公元前三世紀歐幾里得的《原本》，它從定義與公理出發(fā)，演繹出各種幾何定理。

　　現在中學(xué)《平面三角》中關(guān)于三角函數的理論是15世紀才發(fā)展完善起來(lái)的，但是它的一些最基本的概念，卻早在古代研究直角三角形時(shí)便己形成。因此，可把三角學(xué)劃在初等幾何這一標題下。

　　古代埃及、巴比倫、中國、希臘都研究過(guò)有關(guān)球面三角的知識。公元前2世紀，希帕恰斯制作了弦表，可以說(shuō)是三角的創(chuàng )始人。后來(lái)印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿爾?巴塔尼用計算sinθ值的方法來(lái)解方程，他還與阿布爾?沃法共同導出了正切、余切、正割、余割的概念；賴(lài)蒂庫斯作了較精確的正弦表，并把三角函數與圓弧聯(lián)系起來(lái)。

　　由于直角三角形是最簡(jiǎn)單的直線(xiàn)形，又具有很重要的實(shí)用價(jià)值，所以各文明古國都極重視它的研究。我國《周髀算經(jīng)》一開(kāi)始就記載了周朝初年(約公元前1100年左右)的周公與學(xué)者商高的對話(huà)，其中就談到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之后的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關(guān)系，推算過(guò)地球與太陽(yáng)的距離和太陽(yáng)的直徑，同時(shí)為勾股定理作的圖注達幾十種之多。在國外，傳統稱(chēng)勾股定理為畢達哥拉斯定理，認為它的第一個(gè)一致性的證明源于畢氏學(xué)派(公元前6世紀)，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發(fā)現了這個(gè)定理。到現在人們對勾股定理已經(jīng)至少提供了370種證明。

　　19世紀以來(lái)，人們對于關(guān)于三角形和圓的初等綜合幾何，又進(jìn)行了深入的研究。至今這一研究領(lǐng)域仍然沒(méi)有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點(diǎn)、線(xiàn)、面、球。

　　2、射影幾何

　　射影幾何學(xué)是一門(mén)討論在把點(diǎn)射影到直線(xiàn)或平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)�；脽羝�上的點(diǎn)、線(xiàn)，經(jīng)過(guò)幻燈機的照射投影，在銀幕上的圖畫(huà)中都有相對應的點(diǎn)線(xiàn)，這樣一組圖形經(jīng)過(guò)有限次透視以后，變成另一組圖形，這在數學(xué)上就叫做射影對應。射影幾何學(xué)在航空、攝影和測量等方面都有廣泛的應用。

　　射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開(kāi)辟的。迪沙格發(fā)表了―本關(guān)于圓維曲線(xiàn)的很有獨創(chuàng )性的小冊子，從開(kāi)普勒的連續性原理開(kāi)始，導出了許多關(guān)于對合、調和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理，這些課題是今天學(xué)習射影幾何這門(mén)課程的人所熟悉的。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深奧的定理，并于9年后寫(xiě)了一份內容很豐富的手稿。18世紀后期，蒙日提出了二維平面上的適當投影表達三維對象的方法，因而從提供的數據能快速算出炮兵陣地的位置，避開(kāi)了冗長(cháng)的、麻煩的算術(shù)運算。

　　射影幾何真正獨立的研究是由彭賽勒開(kāi)創(chuàng )的。1822年，他發(fā)表了《論圖形的射影性質(zhì)》一文，給該領(lǐng)域的研究以巨大的推動(dòng)作用。他的許多概念被斯坦納進(jìn)一步發(fā)展。1847年，斯陶特發(fā)表了《位置幾何學(xué)》一書(shū)，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來(lái)。

　　后來(lái)證明，采用度量適當的射影定義，能在射影幾何的范圍內研究度量幾何學(xué)。將一個(gè)不變二次曲線(xiàn)添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統的非歐幾何學(xué)。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學(xué)作了多種公設處理，并且有限射影幾何也被發(fā)現。事實(shí)證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過(guò)渡到歐幾里得幾何，其間經(jīng)歷了許多其它重要的幾何學(xué)。

　　3、解析幾何

　　解析幾何即坐標幾何，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過(guò)平面直角坐標系和空間直角坐標系，建立點(diǎn)與實(shí)數對之間的一一對應關(guān)系，從而建立起曲線(xiàn)或曲面與方程之間的一一對應關(guān)系，因而就能用代數方法研究幾何問(wèn)題，或用幾何方法研究代數問(wèn)題。

　　在初等數學(xué)中，幾何與代數是彼此獨立的兩個(gè)分支；在方法上，它們也基本是互不相關(guān)的。解析幾何的建立，不僅由于在內容上引入了變量的研究而開(kāi)創(chuàng )了變量數學(xué)，而且在方法上也使幾何方法與代數方法結合起來(lái)。

　　在迪沙格和帕斯卡開(kāi)辟了射影幾何的同時(shí)，笛卡兒和費爾馬開(kāi)始構思現代解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個(gè)根本區別：前者是幾何學(xué)的一個(gè)分支，后者是幾何學(xué)的一種方法。

　　1637年，笛卡兒發(fā)表了《方法論》及其三個(gè)附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個(gè)附錄《幾何學(xué)》中，他提出了幾種由機械運動(dòng)生成的新曲線(xiàn)。在《平面和立體軌跡導論》中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線(xiàn)。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開(kāi)始，然后求它的方程；費爾馬則從方程出發(fā)，然后來(lái)研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相反的方面，“解析幾何”的名稱(chēng)是以后才定下來(lái)的。

　　這門(mén)課程達到現在課本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天這樣使用坐標、橫坐標、縱坐標這幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，是萊布尼茲于1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了《關(guān)于雙重曲率曲線(xiàn)的研究》一書(shū)，這是最早的一部空間解析幾何著(zhù)作。1748年，歐拉寫(xiě)的《無(wú)窮分析概要》，可以說(shuō)是符合現代意義的第一部解析幾何學(xué)教程。1788年，拉格朗日開(kāi)始研究有向線(xiàn)段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號。于是多維解析幾何出現了。

　　解析幾何在近代的發(fā)展，產(chǎn)生了無(wú)窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。普通解析幾何只不過(guò)是代數幾何的一部分，而代數幾何的發(fā)展同抽象代數有著(zhù)密切的聯(lián)系。

　　4、非歐幾何

　　非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。

　　歐幾里得的第5公設(平行公設)在數學(xué)史上占有特殊的地位，它與前4條公設相比，性質(zhì)顯得太復雜了。它在《原本》中第一次應用是在證明第29個(gè)定理時(shí)，而且此后似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設的公理地位，并探索用其它公理來(lái)證明它，以使它變?yōu)橐粭l定理。在三千多年的時(shí)間中，進(jìn)行這種探索并有案可查的就達兩千人以上，其中包括許多知名的數學(xué)家，但他們都失敗了。

　　羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時(shí)代的研究結果，開(kāi)創(chuàng )了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設“過(guò)不在已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)，可以引至少兩條直線(xiàn)平行于已知直線(xiàn)”，用以代替第五公設，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設。

　　1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設“過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)，沒(méi)有和已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)可引”，用以代替第5公設，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基―鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。

　　非歐幾何的發(fā)現不僅最終解決了平行公設的問(wèn)題――平行公設被證明是獨立于歐氏幾何的其它公設的，而且把幾何學(xué)從其傳統模型中解放出來(lái)，創(chuàng )造了許多不同體系的幾何的道路被打開(kāi)了。

　　1854年，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學(xué)基礎的假設的講演”。他指出：每種不同的(兩個(gè)無(wú)限靠近的點(diǎn)的)距離公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì)。1872年，克萊因建立了各種幾何系統按照不同變換群不變量的分類(lèi)方法。

　　19世紀以后，幾何空間概念發(fā)展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類(lèi)，每一種幾何都對應著(zhù)一種定理系統。1899年，希爾伯特發(fā)表了《幾何基礎》一書(shū)，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴密的基礎，并給出了證明一個(gè)公理體系的相容性(無(wú)矛盾性)、獨立性和完備性的普遍原則。按照他的觀(guān)點(diǎn)，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統中，只不過(guò)是極其特殊的情形罷了。

　　5、拓撲學(xué)

　　1736年，歐拉發(fā)表論文，討論哥尼斯堡七橋問(wèn)題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點(diǎn)、邊、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說(shuō)是拓撲學(xué)的開(kāi)端。

　　龐加萊于1895～1904年建立了拓撲學(xué)，采用代數組合的方法研究拓撲性質(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉―龐加萊公式，與此有關(guān)的理論現在稱(chēng)為同調理論和同倫理論。以后的拓撲學(xué)主要按照龐加萊的設想發(fā)展。

　　拓撲學(xué)開(kāi)始是幾何學(xué)的一個(gè)分支，在二十世紀它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發(fā)表博士論文，把函數作為一個(gè)“點(diǎn)”來(lái)看，把函數收斂描繪成點(diǎn)的收斂，這就把康托的點(diǎn)集論和分析學(xué)的抽象化聯(lián)系起來(lái)了。他在函數所構成的集合中引入距離的概念，構成距離空間，展開(kāi)了線(xiàn)性距離空間的理論。在這個(gè)基礎上，產(chǎn)生了點(diǎn)集拓撲學(xué)。在豪斯道夫的《點(diǎn)集論綱要》一書(shū)中，出現了更一般的點(diǎn)集拓撲學(xué)的完整想法。第二次世界大戰后，把分析引進(jìn)拓撲，發(fā)展了微分拓撲。

　　現在的拓撲學(xué)可以粗略地定義為對于連續性的數學(xué)研究。任何事物的集合都能在某種意義上構成拓撲空間，拓撲學(xué)的概念和理論已基本完組成為數學(xué)的基礎理論之一，滲入到各個(gè)分支，并且成功地應用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。